算法-计算阶乘n!末尾0的个数

Posted 2020-10-02

算法逻辑转载自计算阶乘n!末尾0的个数：

问题描述
    给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
    例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式
    这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
      当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
      当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

问题分析
    显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

    我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。

    我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
    结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
    下面对这个结论进行证明：
    (1)当n < 5时, 结论显然成立。
    (2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
    对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
    我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。
    
    上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
       f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
    当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
    当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

计算举例
   f(5!) = 1 + f(1!) = 1
   f(10!) = 2 + f(2!) = 2
   f(20!) = 4 + f(4!) = 4
   f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
   f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

java代码实现：

package com.java.algorithm.test;

import org.junit.Test;

public class NFactZeroTest {
    @Test
    public void testNFactZero(){
        int  N=100;
        int num0=get0Num(N);
        System.out.println(N+"! has 0 in the end:"+num0);
    }

    public int get0Num(int nFact){
        int num0=0;
        if(nFact>0 && nFact<5){
            num0=0;
        }else if(nFact>=5){
            int times=nFact/5;
            num0=times+this.get0Num(times);
        }
        return num0;
    }
}

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