算法-计算阶乘n!末尾0的个数

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法-计算阶乘n!末尾0的个数相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

算法逻辑转载自计算阶乘n!末尾0的个数


问题描述
    给定参数n(n为正整数),请计算n的阶乘n!末尾所含有“0”的个数。
    例如,5!=120,其末尾所含有的“0”的个数为1;10!= 3628800,其末尾所含有的“0”的个数为2;20!= 2432902008176640000,其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式
    这里先给出其计算公式,后面给出推导过程。
    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数,则有:
      当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
      当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。


问题分析
    显然,对于阶乘这个大数,我们不可能将其结果计算出来,再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

    我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数,若对其进行因式分解,那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里,每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意,一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”,因为还需要一个因子“2”,才能实现其一一对应。

    我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论:
    结论1: 对于n的阶乘n!,其因式分解中,如果存在一个因子“5”,那么它必然对应着n!末尾的一个“0”。
    下面对这个结论进行证明:
    (1)当n < 5时, 结论显然成立。
    (2)当n >= 5时,令n!= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a,其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4),a是一个不含因子“5”的整数。
    对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k),都含有因子“5”,并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数,也就是说,a中存在一个因子“2”与5i相对应。即,这里的k个因子“5”与n!末尾的k个“0”一一对应。
    我们进一步把n!表示为:n!= 5^k * k! * a(公式1),其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法,得出结论1。
    
    上面证明了n的阶乘n!末尾的“0”与n!的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说,计算n的阶乘n!末尾的“0”的个数,可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

    令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数,则利用上面的的结论1和公式1有:
       f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以,最终的计算公式为:
    当0 < n < 5时,f(n!) = 0;
    当n >= 5时,f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5(取整)。

计算举例
   f(5!) = 1 + f(1!) = 1
   f(10!) = 2 + f(2!) = 2
   f(20!) = 4 + f(4!) = 4
   f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
   f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249



java代码实现:

package com.java.algorithm.test;

import org.junit.Test;

public class NFactZeroTest {
    @Test
    public void testNFactZero(){
        int  N=100;
        int num0=get0Num(N);
        System.out.println(N+"! has 0 in the end:"+num0);
    }

    public int get0Num(int nFact){
        int num0=0;
        if(nFact>0 && nFact<5){
            num0=0;
        }else if(nFact>=5){
            int times=nFact/5;
            num0=times+this.get0Num(times);
        }
        return num0;
    }
}


本文出自 “宁静致远” 博客,请务必保留此出处http://woodpecker.blog.51cto.com/2349932/1955915

以上是关于算法-计算阶乘n!末尾0的个数的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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