求N的阶乘末尾有几个0

Posted 2023-04-30

乘积末尾的0的个数依赖于因子中的2的个数和5的个数。

阶乘是基斯顿·卡曼（ChristianKramp，1760～1826）于1808年发明的运算符号，是数学术语。

一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n！。1808年，基斯顿·卡曼引进这个表示法。

通常我们所说的阶乘是定义在自然数范围里的（大多科学计算器只能计算 0～69 的阶乘），小数科学计算器没有阶乘功能，如 0.5！，0.65！，0.777！都是错误的。但是，有时候我们会将Gamma 函数定义为非整数的阶乘，因为当 x 是正整数 n 的时候，Gamma 函数的值是 n－1 的阶乘。

参考技术A 一个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积
那么显然只有乘以10，还有2×5

这两个计算可以添加0
于是求N的阶乘末尾有几个0时
就计算0和5的个数和
或者对(N+5)/5取整即可

求N的阶乘N！中末尾0的个数

有道问题是这样的：给定一个正整数N，那么N的阶乘N！末尾中有多少个0呢？例如：N=10，N！=3628800,则N！的末尾有两个0；

直接上干货，算法思想如下：

对于任意一个正整数N！，都可以化为N！= （2^X)  * （3^Y）* （5^Z）......的形式，要求得末尾0的个数只需求得min(X, Z)即可，

由于是求N！，则X >= Z; 即公约数5出现的频率小于等于2出现的频率，即Z=min（X, Z），即出现0的个数等于公约数5出现的次数；

源码如下：

方法一：

#include <stdio.h>
int main()
{
    int N;                      
    int sum = 0; 
    scanf("%d", &N);          // 输入N
    for(int i = 1; i <= N; i++)
    {
        int j = i;
        while(0 == j % 5)
        {
            sum++;            // 统计公约数5出现的频次
            j /= 5;
        }
    }

    printf("%d\n", sum);

    return 0;
}

　　方法二：

#include <stdio.h>
int main()
{
	int N;
	int sum = 0;
	scanf("%d", &N);
	while(N)
	{
		sum += N / 5;
		N /= 5;
	}
	printf("%d\n", sum);

	return 0;
}