计算n的阶乘（n!）末尾0的个数

Posted 2020-08-09 小叶子leavescy

题目：

给定一个正整数n，请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。

举例：

• 5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；
• 10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；
• 20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4

解题思路：

两个大数字相乘，都可以拆分成多个质数相乘，而质数相乘结果尾数为0的，只可能是2*5。如果想到了这一点，那么就可以进一步想到：两个数相乘尾数0的个数其实就是依赖于2和5因子的个数。又因为每两个连续数字就会有一个因子2，个数非常充足，所以此时只需要关心5因子的个数就行了。

　　对于一个正整数n来说，怎么计算n！中5因子的个数呢？我们可以把5的倍数都挑出来，即：

　　令n! = (5*K) * (5*(K-1)) * (5*(K-2)) * ... * 5 * A，其中A就是不含5因子的数相乘结果，n = 5*K + r（0<= r <= 4）。假设f(n!)是计算阶乘n!尾数0的个数，而g(n!)是计算n!中5因子的个数，那么就会有如下公式：

　　f(n!) = g(n!) = g(5^K * K! * A) = K + g(K!) = K + f(K!)，其中K=n / 5（取整数）。

代码如下：

1  public static int calN(int n){
2         if(n < 5){
3             return 0;
4         }
5         else{
6             return n / 5 + calN(n / 5);
7         }
8     }