[CQOI2013]新Nim游戏 线性基

Posted 2021-02-08 ww3113306

题面

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题解

首先我们知道nim游戏先手必败当且仅当所有石堆异或和为0，因此我们的目标就是要使对手拿石堆的时候，无论如何都不能使剩下的石堆异或和为0。
对于一个局面，如果我们可以选取一些可以凑出0的石堆留下(因为不能全部拿走，所以这里至少要拿一堆)，那么显然就先手必败了。
因此作为先手，我们留给后手的状态必须是一个凑不出0的状态。
考虑如果一个局面可以凑出0，会具有什么样的特征。
对于一个局面，我们求出它的线性基，如果在线性基外还有别的01串，那么根据线性基的定义，线性基内的串一定可以凑出外面的那个串，然后我们再把用线性基凑出的串和原来的串xor一下就得到0了。
因此我们需要使得留下的局面中，所有串都在线性基内。
所以我们先求出给定串的线性基，然后拿走所有线性基外的串就肯定先手必胜了。
同时为了使得拿走的尽量少，也就是留下的尽量多，所以我们按串的大小，从小到大往线性基内塞串即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
#define AC 110
#define LL long long

int n; LL ans;
int s[AC], f[AC];

inline int read()
{
    int x = 0;char c = getchar();
    while(c > '9' || c < '0') c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x;
}

void pre()
{
    n = read();
    for(R i = 1; i <= n; i ++) s[i] = read();
    sort(s + 1, s + n + 1);
}

void work()
{
    for(R i = n; i; i --)//从高开始贪心
    {
        int x = s[i]; bool done = false;
        for(R j = 30, maxn = 1 << 30; ~j; j --, maxn >>= 1)
        {
            if(!(x & maxn)) continue;
            if(!f[j]) {f[j] = x, done = true; break;}
            else x ^= f[j];
        }
        if(!done) ans += s[i];//没被加入线性基就要拿走
    }
    printf("%lld
", ans);
}

int main()
{
//  freopen("in.in", "r", stdin);
    pre();
    work();
//  fclose(stdin);
    return 0;
}