[CQOI2013]新Nim游戏（博弈论，线性基）

Posted 2021-01-12 lsgjcya

[CQOI2013]新Nim游戏

题目描述

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

输入输出格式

输入格式：

第一行为整数k。即火柴堆数。

第二行包含k个不超过10^9的正整数，即各堆的火柴个数。

输出格式：

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

6
5 5 6 6 5 5

输出样例#1：

21

说明

k<=100

NIM游戏的先手必胜：a[1] ^ a[2] ^ ... ^ a[n] !=0
所以我们现在需要取走若干堆石子，使得对手不管怎么取石子异或和都不为0。
异或+不为0？？？
线性基！！！
线性基极其优美的性质：线性基的异或集合中不存在(0)。
更多线性基知识，戳这里
所以我们对于一堆石子，如果线性基集合能把这堆石子异或出来，就要拿走这对石子。
为了满足拿走的石子尽量小，排一下序就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
#define lll long long
using namespace std;
lll read(){
    lll x=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x*w;
}
const lll N=110;
lll n,ans,a[N],c[N];
bool cmp(lll p,lll q){return p>q;}
void insert(lll v){
    for(lll i=32;i>=0;i--){
        if(!(v>>i))continue;
        if(!c[i]){c[i]=v;break;}
        v^=c[i];if(!v)break;
    }
}
lll find(lll v){
    for(lll i=32;i>=0;i--){
        if(v>>i)v^=c[i];if(!v)break;
    }return v;
}
int main(){
    n=read();
    for(lll i=1;i<=n;i++)a[i]=read();
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for(lll i=1;i<=n;i++){
        if(find(a[i]))insert(a[i]);
        else ans+=a[i];
    }
    if(!ans)printf("-1
");
    else printf("%lld
",ans);
}