2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第八小题参考答案
Posted 卓晴
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§08 第八小题
8、 以下序列的长度为\\nN.，求其离散傅里叶变换的闭合表达式。
（1）
x
[
n
]
=
sin
(
ω
0
n
)
R
N
[
n
]
x\\left[ n \\right] = \\sin \\left( {\\omega _0 n} \\right)R_N \\left[ n \\right]
x[n]=sin(ω0n)RN[n]
（2）
x
[
n
]
=
a
n
⋅
R
N
[
n
]
x\\left[ n \\right] = a^n \\cdot R_N \\left[ n \\right]
x[n]=an⋅RN[n]
（3）
n
2
⋅
R
N
[
n
]
n^2 \\cdot R_N \\left[ n \\right]
n2⋅RN[n]
▓ 求解
（1）
X
(
k
)
=
∑
n
=
0
N
−
1
sin
(
ω
0
n
)
⋅
e
−
j
2
π
k
n
N
X\\left( k \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {\\sin \\left( {\\omega _0 n} \\right) \\cdot e^{ - j{{2\\pi kn} \\over N}} }
X(k)=n=0∑N−1sin(ω0n)⋅e−jN2πkn
= ∑ n = 0 N − 1 1 2 j ( e j ω 0 n − e − j ω 0 n ) ⋅ e − j 2 π k N ⋅ n = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {{1 \\over {2j}}\\left( {e^{j\\omega _0 n} - e^{ - j\\omega _0 n} } \\right) \\cdot e^{ - j{{2\\pi k} \\over N} \\cdot n} } =n=0∑N−12j1(ejω0n−e−jω0n)⋅e−jN2πk⋅n
= 1 2 j [ 1 − e j ω 0 N 1 − e j ( ω 0 − 2 π k N ) − 1 − e − j ω 0 N 1 − e − j ( ω 0 + 2 π k N ) ] = {1 \\over {2j}}\\left[ {{{1 - e^{j\\omega _0 N} } \\over {1 - e^{j\\left( {\\omega _0 - {{2\\pi k} \\over N}} \\right)} }} - {{1 - e^{ - j\\omega _0 N} } \\over {1 - e^{ - j\\left( {\\omega _0 + {{2\\pi k} \\over N}} \\right)} }}} \\right] =2j1[1−ej(ω0−N2πk)1−ejω0N−1−e−j(ω0+N2πk)1−e−jω0N]
= 1 2 j ⋅ ( 1 − e j ω 0 N ) ⋅ ( 1 − e − j ( ω 0 + 2 π k N ) ) − ( 1 − e − j ω 0 N ) ⋅ ( 1 − e j ( ω 0 − 2 π k N ) ) ( 1 − e j ( ω 0 − 2 π k N ) ) ⋅ ( 1 − e − j ( ω 0 + 2 π k N ) ) = {1 \\over {2j}} \\cdot {{\\left( {1 - e^{j\\omega _0 N} } \\right) \\cdot \\left( {1 - e^{ - j\\left( {\\omega _0 + {{2\\pi k} \\over N}} \\right)} } \\right) - \\left( {1 - e^{ - j\\omega _0 N} } \\right) \\cdot \\left( {1 - e^{j\\left( {\\omega _0 {\\rm{ - }}{{{\\rm{2}}\\pi k} \\over N}} \\right)} } \\right)} \\over {\\left( {1 - e^{j\\left( {\\omega _0 - {{2\\pi k} \\over N}} \\right)} } \\right) \\cdot \\left( {1 - e^{ - j\\left( {\\omega _0 + {{2\\pi k} \\over N}} \\right)} } \\right)}} =2j1⋅(1−ej(ω0−N2πk))⋅(1−e−j(ω0+N2πk))(1−ejω0N)⋅(1−e−j(ω0+N2πk))−(1−e−jω0N)⋅(1−ej(ω02021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第一小题参考答案
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