2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第一小题参考答案
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§01 第一小题
1、用闭式表达以下有限长序列的DFT： ( 1 ) x [ n ] = δ [ n ] \\left( 1 \\right)\\,\\,\\,\\,x\\left[ n \\right] = \\delta \\left[ n \\right] (1)x[n]=δ[n] ( 2 ) x [ n ] = δ [ n − n 0 ] , ( 0 < n 0 < N ) \\left( 2 \\right)\\,\\,\\,\\,x\\left[ n \\right] = \\delta \\left[ {n - n_0 } \\right],\\,\\,\\,\\,\\left( {0 < n_0 < N} \\right) (2)x[n]=δ[n−n0],(0<n0<N) ( 3 ) x [ n ] = a n R N [ n ] \\left( 3 \\right)\\,\\,\\,\\,x\\left[ n \\right] = a^n R_N \\left[ n \\right] (3)x[n]=anRN[n] ( 4 ) x [ n ] = e j ω 0 n R N [ n ] \\left( 4 \\right)\\,\\,\\,\\,x\\left[ n \\right] = e^{j\\omega _0 n} R_N \\left[ n \\right] (4)x[n]=ejω0nRN[n]
▓ 求解
（1）解答：
x
(
n
)
=
δ
(
n
)
x\\left( n \\right) = \\delta \\left( n \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
x(n)=δ(n)
X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N n k = 1 X\\left( k \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right]e^{ - j{{2\\pi } \\over N}nk} } = 1 X(k)=n=0∑N−1x[n]e−jN2πnk=1
（2）解答：
x
(
n
)
=
δ
(
n
−
n
0
)
,
(
0
<
n
0
<
N
)
x\\left( n \\right) = \\delta \\left( {n - n_0 } \\right),\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\left( {0 < n_0 < N} \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
x(n)=δ(n−n0),(0<n0<N)
X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] e − j 2 π N n k = e − j 2 π N n 0 k X\\left( k \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right]e^{ - j{{2\\pi } \\over N}nk} } \\, = e^{ - j{{2\\pi } \\over N}n_0 k} X(k)=n=0∑N−1x[n]e−jN2πnk=e−jN2πn0k
（3）解答：
x
(
n
)
=
a
n
R
N
(
n
)
x\\left( n \\right) = a^n R_N \\left( n \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
x(n)=anRN(n)
X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 a n R N [ n ] W n k = ∑ n = 0 N − 1 a W k = 1 − ( a W k ) N 1 − a W k = 1 − a N 1 − a e − j 2 π N k X\\left( k \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {a^n R_N \\left[ n \\right]W^{nk} } = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {aW^k } = {{1 - \\left( {aW^k } \\right)^N } \\over {1 - aW^k }}\\, = {{1 - a^N } \\over {1 - ae^{ - j{{2\\pi } \\over N}k} }} X(k)=n=0∑N−1anRN[n]Wnk=n=0∑N−1aWk=1−aWk1−(aWk)N=1−ae−jN2πk1−aN
（4）解答：
x
(
n
)
=
e
j
ω
0
n
R
N
(
n
)
x\\left( n \\right) = e^{j\\omega _0 n} R_N \\left( n \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
x(n)=ejω0nRN(n)
X ( k ) = a = e j ω 0 1 − e j ω 0 N 1 − e j ( ω 0 − 2 π N k ) X\\left( k \\right)\\mathop = \\limits^{a = e^{j\\omega _0 } } {{1 - e^{j\\omega _0 N} } \\over {1 - e^{j\\left( {\\omega _0 - {{2\\pi } \\over N}k} \\right)} }} X(k)=a=ejω2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第一小题参考答案
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