2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第九小题参考答案
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§09 第九小题
9、证明DFT的对称性质：
若：
D
F
T
{
x
[
n
]
}
=
X
[
k
]
DFT\\left\\{ {x\\left[ n \\right]} \\right\\} = X\\left[ k \\right]
DFT{x[n]}=X[k]，则
D
F
T
{
X
[
n
]
}
=
N
⋅
x
(
(
−
k
)
)
N
⋅
R
N
[
n
]
DFT\\left\\{ {X\\left[ n \\right]} \\right\\} = N \\cdot x\\left( {\\left( { - k} \\right)} \\right)_N \\cdot R_N \\left[ n \\right]
DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅RN[n]。
▓ 求解
根据IDFT公式：
x
[
n
]
=
1
N
∑
k
=
0
N
X
[
k
]
⋅
e
j
2
π
k
n
N
x\\left[ n \\right] = {1 \\over N}\\sum\\limits_{k = 0}^N {X\\left[ k \\right] \\cdot e^{{{j2\\pi kn} \\over N}} }
x[n]=N1k=0∑NX[k]⋅eNj2πkn
因此：
N
⋅
x
[
n
]
=
∑
k
=
0
N
X
[
k
]
⋅
e
−
j
2
π
k
N
(
−
n
)
N \\cdot x\\left[ n \\right] = \\sum\\limits_{k = 0}^N {X\\left[ k \\right] \\cdot e^{{{ - j2\\pi k} \\over N}\\left( { - n} \\right)} }
N⋅x[n]=k=0∑NX[k]⋅eN−j2πk(−n)
所以：
D
F
T
{
X
[
n
]
}
=
N
⋅
x
(
(
−
k
)
)
N
⋅
R
[
n
]
DFT\\left\\{ {X\\left[ n \\right]} \\right\\} = N \\cdot x\\left( {\\left( { - k} \\right)} \\right)_N \\cdot R\\left[ n \\right]
DFT{X[n]}=N⋅x((−k))N⋅R[n]
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