2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第七小题参考答案
Posted 卓晴
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§07 第七小题
7、已知
x
[
n
]
x\\left[ n \\right]
x[n]是长度为N的序列。
X
[
k
]
=
D
F
T
{
x
[
n
]
}
X\\left[ k \\right] = DFT\\left\\{ {x\\left[ n \\right]} \\right\\}
X[k]=DFT{x[n]}。把
x
[
n
]
x\\left[ n \\right]
x[n]的长度扩大
r
r
r倍，即：
y
[
n
]
=
{
x
[
n
]
,
0
≤
n
≤
N
−
1
0
,
N
≤
n
≤
r
N
−
1
y\\begin{bmatrix} n \\end{bmatrix} = \\left\\{ \\begin{matrix} {x\\begin{bmatrix} n \\end{bmatrix},\\,\\,\\,\\,0 \\le n \\le N - 1}\\\\{0,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,N \\le n \\le rN - 1}\\\\\\end{matrix} \\right.
y[n]={x[n],0≤n≤N−10,N≤n≤rN−1又：
Y
[
k
1
]
=
D
F
T
[
y
[
n
]
]
Y\\left[ {k_1 } \\right] = DFT\\left[ {y\\left[ n \\right]} \\right]
Y[k1]=DFT[y[n]]，
0
≤
k
≤
r
N
−
1
0 \\le k \\le rN - 1
0≤k≤rN−1。
求
Y
[
k
]
Y\\left[ k \\right]
Y[k]与
X
[
k
]
X\\left[ k \\right]
X[k]的关系。
▓ 求解
（1）
Y
[
k
1
]
=
∑
n
=
0
r
N
−
1
y
[
n
]
⋅
W
r
N
n
k
1
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
⋅
W
r
N
n
k
1
Y\\left[ {k_1 } \\right] = \\sum\\limits_{n = 0}^{rN - 1} {y\\left[ n \\right] \\cdot W_{rN}^{nk_1 } } = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right] \\cdot W_{rN}^{nk_1 } }
Y[k1]=n=0∑rN−1y[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
⋅
W
N
n
k
1
r
=
X
[
k
1
r
]
= \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right] \\cdot W_N^{{{nk_1 } \\over r}} } = X\\left[ {{{k_1 } \\over r}} \\right]
=n=0∑N−1x[n]⋅WNrnk1=X[rk1]
（2）
Y [ k 1 ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ⋅ W r N n k 1 = ∑ n = 0 N − 1 ( 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] ⋅ W N − n k ) ⋅ W r N n k 1 Y\\left[ {k_1 } \\right] = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right] \\cdot W_{rN}^{nk_1 } } \\, = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {\\left( {{1 \\over N}\\sum\\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\\left[ k \\right] \\cdot W_N^{ - nk} } } \\right)} \\cdot W_{rN}^{nk_1 } Y[k1]=n=0∑N−1x[n]⋅WrNnk1=n=0∑N−1(N1k=0∑N−1X[k]⋅WN−nk)⋅WrNnk1 = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] ∑ n = 0 N − 1 W r N − n k r W r N n k 1 = 1 N ∑ n = 0 N − 1 X [ k ] 1 − W r N k 1 N 1 − W r N k 1 − k r = {1 \\over N}\\sum\\limits_{k = 0}^{N - 1} {X\\left[ k \\right]\\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {W_{rN}^{ - nkr} W_{rN}^{nk_1 } } } = {1 \\over N}\\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {X\\left[ k \\right]{{1 - W_{rN}^{k_1 N} } \\over {1 - W_{rN}^{k_1 - kr} }}} =N1k=0∑N−1X[k]n=0∑N−1WrN−nkrWrNnk1=N2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第一小题参考答案
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