2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第四小题参考答案
Posted 卓晴
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案 中各小题的参考答案。
§04 第四小题
4、设
x
[
n
]
x\\left[ n \\right]
x[n]为一有限长序列，当
n
<
0
n < 0
n<0和
n
≥
N
n \\ge N
n≥N时，且
N
N
N是偶数。已知
D
F
T
{
x
[
n
]
}
=
X
[
k
]
DFT\\left\\{ {x\\left[ n \\right]} \\right\\} = X\\left[ k \\right]
DFT{x[n]}=X[k]，试利用
X
[
k
]
X\\left[ k \\right]
X[k]来表示以下各序列的DFT：
（1）
x
1
[
n
]
=
x
[
N
−
1
−
n
]
x_1 \\left[ n \\right] = x\\left[ {N - 1 - n} \\right]
x1[n]=x[N−1−n]（2）
x
2
[
n
]
=
(
−
1
)
n
x
[
n
]
x_2 \\left[ n \\right] = \\left( { - 1} \\right)^n x\\left[ n \\right]
x2[n]=(−1)nx[n]（3）
（4）
（5）
（6）
（DFT有限长度为 2N）
（7）
x
7
[
n
]
=
x
[
2
n
]
x_7 \\left[ n \\right] = x\\left[ {2n} \\right]
x7[n]=x[2n]（DFT有限长度为N/2）
▓ 求解
（1）解答：
X
1
[
k
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
N
−
1
−
n
]
W
n
k
=
∑
m
=
N
−
1
0
x
[
m
]
W
(
N
−
1
−
m
)
k
X_1 \\left[ k \\right] = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ {N - 1 - n} \\right]W^{nk} } \\, = \\sum\\limits_{m = N - 1}^0 {x\\left[ m \\right]W^{\\left( {N - 1 - m} \\right)k} }
X1[k]=n=0∑N−1x[N−1−n]Wnk=m=N−1∑0x[m]W(N−1−m)k
=
∑
m
=
0
N
−
1
x
[
m
]
W
−
m
k
⋅
W
−
k
=
X
[
−
k
]
N
e
j
2
π
k
N
= \\sum\\limits_{m = 0}^{N - 1} {x\\left[ m \\right]W^{ - mk} \\cdot W^{ - k} } \\, = X\\left[ { - k} \\right]_N e^{j{{2\\pi k} \\over N}}
=m=0∑N−1x[m]W−mk⋅W−k=X[−k]NejN2πk
（2）解答：
X
2
[
k
]
=
∑
n
=
0
N
−
1
(
−
1
)
n
x
[
n
]
W
n
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
j
n
π
e
j
2
π
N
k
X_2 \\left[ k \\right] = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {\\left( { - 1} \\right)^n x\\left[ n \\right]W^{nk} } = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right]e^{jn\\pi } e^{j{{2\\pi } \\over N}k} }
X2[k]=n=0∑N−1(−1)nx[n]Wnk=n=0∑N−1x[n]ejnπejN2πk
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
e
j
2
π
N
n
(
k
+
N
2
)
=
X
[
k
±
N
2
]
N
= \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right]e^{j{{2\\pi } \\over N}n\\left( {k + {N \\over 2}} \\right)} } = X\\left[ {k \\pm {N \\over 2}} \\right]_N
=n=0∑N−1x[n]ejN2πn(k+2N)=X[k±2N]N
（3）解答：
X
3
[
k
]
=
∑
n
=
0
2
N
−
1
x
3
[
n
]
W
2
N
n
k
=
∑
n
=
0
N
−
1
x
[
n
]
⋅
W
2
N
n
k
+
∑
n
=
N
2
N
−
1
x
[
n
−
N
]
⋅
W
2
N
n
k
X_3 \\left[ k \\right] = \\sum\\limits_{n = 0}^{2N - 1} {x_3 \\left[ n \\right]W_{2N}^{nk} } = \\sum\\limits_{n = 0}^{N - 1} {x\\left[ n \\right] \\cdot W_{2N}^{nk} } + \\sum\\limits_{n = N}^{2N - 1} {x\\left[ {n - N} \\right] \\cdot W_{2N}^{nk} }
X3[k]=n=0∑2N−1x3[n]W2Nnk=n=0∑N−1x[n]⋅W2Nnk+n=N2021年春季学期-信号与系统-第十四次作业参考答案-第一小题参考答案
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