2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第三小题
Posted 卓晴
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案 中各小题答案。
§03 第三小题
3. 离散时间系统如下图所示：
（1）求该系统的传递函数
H
(
z
)
H\\left( z \\right)
H(z)；
（2）设系统的激励为：
x
[
n
]
=
[
(
−
1
)
n
+
(
−
2
)
n
]
u
[
n
]
x\\left[ n \\right] = \\left[ {\\left( { - 1} \\right)^n + \\left( { - 2} \\right)^n } \\right]u\\left[ n \\right]
x[n]=[(−1)n+(−2)n]u[n] 用z变换求该系统的零状态响应；
（3）已知：
x
[
n
]
=
δ
[
n
]
,
y
[
0
]
=
1
,
y
[
−
1
]
=
−
1
x\\left[ n \\right] = \\delta \\left[ n \\right],\\,\\,y\\left[ 0 \\right] = 1,\\,\\,y\\left[ { - 1} \\right] = - 1
x[n]=δ[n],y[0]=1,y[−1]=−1 用z变换求该系统的零输入相应；
提示：(2),(3)两步请参见第五章[5.7.2]中内容
▓ 求解：
（1）第一小问
(1) 通过设立中间变量W(z)建立两个方程：
系统的传递函数为：
Y ( z ) X ( z ) = 4 + 5 z − 1 1 − 3 z − 1 + 2 z − 2 = 4 z 2 + 5 z z 2 − 3 z + 2 {{Y\\left( z \\right)} \\over {X\\left( z \\right)}} = {{4 + 5z^{ - 1} } \\over {1 - 3z^{ - 1} + 2z^{ - 2} }}\\, = {{4z^2 + 5z} \\over {z^2 - 3z + 2}} X(z)Y(z)=1−3z−1+2z−24+5z−1=z2−3z+24z2+5z
（2）第二小问
(2) 系统输入信号的z变换：
X ( z ) = z z + 1 + z z + 2 X\\left( z \\right) = {z \\over {z + 1}} + {z \\over {z + 2}} X(z)=z+1z+z+2z
Y ( z ) = H ( z ) ⋅ X ( z ) = 4 z 2 + 5 z z 2 − 3 z + 2 ⋅ ( z z + 1 + z z + 2 ) Y\\left( z \\right) = H\\left( z \\right) \\cdot X\\left( z \\right) = {{4z^2 + 5z} \\over {z^2 - 3z + 2}} \\cdot \\left( {{z \\over {z + 1}} + {z \\over {z + 2}}} \\right) Y(z)=H(z)⋅X(z)=z2−3z+24z2+5z⋅(z+1z+z+2z) = 8 z 4 + 22 z 3 + 15 z 2 z 4 − 5 z 2 + 4 = z 2 ( 2 z + 3 ) ( 4 z + 5 ) ( z − 1 ) ( z − 2 ) ( z + 2 ) ( z + 1 ) = {{8z^4 + 22z^3 + 15z^2 } \\over {z^4 - 5z^2 + 4}} = {{z^2 \\left( {2z + 3} \\right)\\left( {4z + 5} \\right)} \\over {\\left( {z - 1} \\right)\\left( {z - 2} \\right)\\left( {z + 2} \\right)\\left( {z + 1} \\right)}} =z4−5z2+48z4+22z3+15z2=(z−1)(z−2)(z+2)(z+1)z2(2z+3)(4z+5) = − 15 2 z z − 1 + 15 1 6 z z − 2 + 1 2 z z + 2 + − 1 6 z z + 1 = {{ - {{15} \\over 2}z} \\over {z - 1}} + {{15{1 \\over 6}z} \\over {z - 2}} + {{{1 \\over 2}z} \\over {z + 2}} + {{ - {1 \\over 6}z} \\over {z + 1}} =z−1−215z+z−21561z+z+221z+z+1−61z
>>iztrans(ans)'
ans=(-2)^n/2 -(-1)^n/6 +(91*2^n)/6 -15/2
系统的零状态响应：
y [ n ] = − 15 2 + 1 2 ( − 2 ) n − 1 6 ( − 1 ) n + 91 6 ⋅ 2 n , n ≥ 0 y\\left[ n \\right] = - {{15} \\over 2} + {1 \\over 2}\\left( { - 2} \\right)^n - {1 \\over 6}\\left( { - 1} \\right)^n + {{91} \\over 6} \\cdot 2^n ,\\,\\,\\,\\,n \\ge 0 y[n]=−215+21(−2)n−6以上是关于2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第三小题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第十一小题
2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第七小题
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