2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案-第八小题
Posted 卓晴
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本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十三次作业参考答案 中各小题答案。
§08 第八小题
8.因果、稳定、LTI系统的传递函数H(s)，该系统的输入为：
x
(
t
)
=
δ
(
t
)
+
e
s
0
t
+
x
1
(
t
)
x\\left( t \\right) = \\delta \\left( t \\right) + e^{s_0 t} + x_1 \\left( t \\right)
x(t)=δ(t)+es0t+x1(t)其中
x
1
(
t
)
x_1 \\left( t \\right)
x1(t)未知，
s
0
s_0
s0为复数常数。
由
x
(
t
)
x\\left( t \\right)
x(t)产生的输出信号为：
y
(
t
)
=
δ
(
t
)
−
6
e
−
t
u
(
t
)
−
1
2
e
4
t
cos
3
t
−
3
2
e
4
t
sin
3
t
y\\left( t \\right) = \\delta \\left( t \\right) - 6e^{ - t} u\\left( t \\right) - {1 \\over 2}e^{4t} \\cos 3t - {3 \\over 2}e^{4t} \\sin 3t
y(t)=δ(t)−6e−tu(t)−21e4tcos3t−23e4tsin3t求符合上述条件的传递函数。
▓ 求解：
将y(t)进行Laplace变换：
Y ( s ) = 1 − 6 s + 1 + 1 2 ⋅ s + 5 s 2 − 8 s + 25 Y\\left( s \\right) = 1 - {6 \\over {s + 1}} + {1 \\over 2} \\cdot {{s + 5} \\over {s^2 - 8s + 25}} Y(s)=1−s+16+21⋅s2−8s+25s+5 = 1 − 6 s + 1 + 1 4 ( 1 − 3 j s − 4 − 3 j + 1 + 3 j s − 4 + 3 j ) = 1 - {6 \\over {s + 1}} + {1 \\over 4}\\left( {{{1 - 3j} \\over {s - 4 - 3j}} + {{1 + 3j} \\over {s - 4 + 3j}}} \\right) =1−s+16+41(s−4−3j1−3j+s−4+3j1+3j)
= s 3 − 13.5 s 2 + 62 s − 127.5 s 3 − 7 s 2 + 17 s + 25 = {{s^3 - 13.5s^2 + 62s - 127.5} \\over {s^3 - 7s^2 + 17s + 25}} =s3−7s2+17s+25s3−13.5s2+62s−127.5
= s − 7.5 s + 1 ⋅ s 2 − 6 s + 17 s 2 − 8 s + 25 = {{s - 7.5} \\over {s + 1}} \\cdot {{s^2 - 6s + 17} \\over {s^2 - 8s + 25}} =s+1s−7.5⋅s2−8s+25s2−6s+17
>>laplace(dirac(t)-6*exp(-t)-(exp(4*t)*(cos(3*t)+3*sin(3*t)))/2)'
ans=1 -6/(s+1)-9/(2*((s-4)^2 +9))-(s-4)/(2*((s-4)^2 +9)
>>partfrac((m+5)/(2*m^2-16*m+50),m,'FactorMode','full')'
ans=(1/4 -3i/4)/(m-4 -3i)+(1/4 +3i/4)/(m-4 +3i)
由于
x
(
t
)
x\\left( t \\right)
x(t)是实数函数，所以
x
1
(
t
)
x_1 \\left( t \\right)
x1(t)应该包含 共轭函数。
x
1
(
t
)
=
e
s
0
∗
t
x_1 \\left( t \\right) = e^{s_0^* t}
x1(t)=es0∗t
所以：
X
(
s
)
=
1
+
1
s
−
s
0
+
1
s
−
s
0
∗
X\\left( s \\right) = 1 + {1 \\over {s - s_0 }} + {1 \\over {s - s_0^* }}
X(s)=1+s−s01+s−s0∗1
对比LTI输出信号中的表达式，可知： s 0 = 4 + 3 j s_0 = 4 + 3j s0=4+3j
X
(
s
)
=
1
+
2
s
−
8
s
2
−
8
s
+
25
=
s
2
−
6
s
+
17
s
2
−
8
s
+
25
X\\left( s \\right) = 1 + {{2s - 8} \\over {s^2 - 8s + 25}} = {{s^2 - 6s + 17} \\over {s^2 - 8s + 25}}
X(s)=1+s2−8s+252s−8
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