2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第八小题
Posted 卓晴
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▓ 第十一次作业各个小题参考答案
§08 第八小题
8. 已知 Z T { x [ n ] } = X ( z ) ZT\\left\\{ {x\\left[ n \\right]} \\right\\} = X\\left( z \\right) ZT{x[n]}=X(z)，试证明：
.
Z
[
∑
k
=
−
∞
n
x
(
k
)
]
=
z
z
−
1
X
(
z
)
Z\\left[ {\\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {x\\left( k \\right)} } \\right] = {z \\over {z - 1}}X\\left( z \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
Z[k=−∞∑nx(k)]=z−1zX(z)
提示： x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n]的累加等于 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n]与 u [ n ] u\\left[ n \\right] u[n]的卷积。
▓ 求解：
证明方法1：利用卷积定理证明：
由于对序列的累加和，可以看成序列与
u
[
n
]
u\\left[ n \\right]
u[n]的卷积：
∑
k
=
−
∞
n
x
[
k
]
=
x
[
n
]
∗
u
[
n
]
\\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {x\\left[ k \\right]} = x\\left[ n \\right] * u\\left[ n \\right]
k=−∞∑nx[k]=x[n]∗u[n]。所以在根据z变换的卷积定理可知，序列的累加和的z变换等于序列的z变换乘以
u
[
n
]
u\\left[ n \\right]
u[n]的z变换。而：
Z
{
u
[
n
]
}
=
z
z
−
1
Z\\left\\{ {u\\left[ n \\right]} \\right\\} = {z \\over {z - 1}}
Z{u[n]}=z−1z，所以：
Z
[
∑
k
=
−
∞
n
x
(
k
)
]
=
z
z
−
1
X
(
z
)
Z\\left[ {\\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {x\\left( k \\right)} } \\right] = {z \\over {z - 1}}X\\left( z \\right)\\;\\;\\;\\;\\;
Z[k=−∞∑nx(k)]=z−1zX(z)
证明方法2：
Z [ ∑ k = − ∞ n x [ k ] ] = ∑ n = − ∞ ∞ ( ∑ k = − ∞ n x [ k ] ) ⋅ z − n Z\\left[ {\\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {x\\left[ k \\right]} } \\right] = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {\\left( {\\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {x\\left[ k \\right]} } \\right) \\cdot z^{ - n} } Z[k=−∞∑nx[k]]=n=−∞∑∞(k=−∞∑nx[k])⋅z−n = ∑ n = − ∞ ∞ ( ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ u [ n − k ] ) ⋅ z − n = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {\\left( {\\sum\\limits_{k = - \\infty }^\\infty {x\\left[ k \\right] \\cdot u\\left[ {n - k} \\right]} } \\right) \\cdot z^{ - n} } =n=−∞∑∞(k=−∞∑∞x[k]⋅u[n−k])⋅z−n = ∑ k = − ∞ n ∑ n = − ∞ ∞ x [ k ] ⋅ u [ n − k ] ⋅ z − n = \\sum\\limits_{k = - \\infty }^n {\\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {x\\left[ k \\right] \\cdot u\\left[ {n - k} \\right] \\cdot z^{ - n} } } =k=−∞∑nn=−∞∑∞x[k]⋅u[n−k]⋅z−n = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] ∑ n = − ∞ ∞ u [ n − k ] ⋅ z − ( n − k ) ⋅ z − k = \\sum\\limits_{k = - \\infty }^\\infty {x\\left[ k \\right]\\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {u\\left[ {n - k} \\right] \\cdot z^{ - \\left( {n - k} \\right)} } \\cdot z^{ - k} } =k=−∞∑∞x[k]n=−∞∑∞u[n−k]⋅z−(n−k)⋅z−k = ∑ k = − ∞ ∞ x [ k ] z − k ∑ n = − ∞ ∞ u [ n − k ] ⋅ z − ( n − k ) = z z − 1 X ( z ) = \\sum\\limits_{k = - \\infty }^\\infty {x\\left[ k \\right]z^{ - k} \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {u\\left[ {n - k} \\right] \\cdot z^{ - \\left( {n - k} \\right)} } } = {z \\over {z - 1}}X\\left( z \\right) =k=−∞∑∞x[k]z−kn=−∞∑∞u[n−k]⋅z−(n−k)=z−1zX(z)
▌第十一次作业其它各小题参考答案
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