2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
▓ 第十一次作业各个小题参考答案
§06 第六小题
6. 利用 Z Z Z 变换的性质求以下序列 的卷积，已知：
（1）
x [ n ] = a n − 1 ⋅ u [ n − 1 ] , h [ n ] = u [ n ] x\\left[ n \\right] = a^{n - 1} \\cdot u\\left[ {n - 1} \\right],\\,\\,h\\left[ n \\right] = u\\left[ n \\right] x[n]=an−1⋅u[n−1],h[n]=u[n]
（2）
x [ n ] = 2 u [ n − 1 ] , h [ n ] = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k δ [ n − k ] x\\left[ n \\right] = 2u\\left[ {n - 1} \\right],\\,\\,\\,h\\left[ n \\right] = \\sum\\limits_{k = 0}^\\infty {\\left( { - 1} \\right)^k \\delta \\left[ {n - k} \\right]} x[n]=2u[n−1],h[n]=k=0∑∞(−1)kδ[n−k]
提示：应用Z变换的卷积定理
▓ 求解：
（1）求解：
序列
x
[
n
]
,
h
[
n
]
x\\left[ n \\right],h\\left[ n \\right]
x[n],h[n]的z变换分别是：
X
(
z
)
=
z
z
−
a
⋅
z
−
1
=
1
z
−
a
,
H
(
z
)
=
z
z
−
1
X\\left( z \\right) = {z \\over {z - a}} \\cdot z^{ - 1} = {1 \\over {z - a}},\\,\\,\\,\\,H\\left( z \\right) = {z \\over {z - 1}}
X(z)=z−az⋅z−1=z−a1,H(z)=z−1z
根据z变换的卷积定理，
y
[
n
]
=
x
[
n
]
∗
h
[
z
]
y\\left[ n \\right] = x\\left[ n \\right] * h\\left[ z \\right]
y[n]=x[n]∗h[z]，那么序列
y
[
n
]
y\\left[ n \\right]
y[n]的z变换为：
Y
(
z
)
=
H
(
z
)
⋅
X
(
z
)
=
1
z
−
a
⋅
z
z
−
1
=
1
a
−
1
z
z
−
a
+
1
1
−
a
z
z
−
1
Y\\left( z \\right) = H\\left( z \\right) \\cdot X\\left( z \\right)\\, = {1 \\over {z - a}} \\cdot {z \\over {z - 1}} = {{{1 \\over {a - 1}}z} \\over {z - a}} + {{{1 \\over {1 - a}}z} \\over {z - 1}}
Y(z)=H(z)⋅X(z)=z−a1⋅z−1z=z−aa−11z+z−11−a1z
则：
y
[
n
]
=
1
1
−
a
u
[
n
]
−
1
1
−
a
a
n
⋅
u
[
n
]
y\\left[ n \\right] = {1 \\over {1 - a}}u\\left[ n \\right] - {1 \\over {1 - a}}a^n \\cdot u\\left[ n \\right]
y[n]=1−a1u[n]−1−a1an⋅u[n]
（2）求解：
序列
x
[
n
]
,
h
[
n
]
x\\left[ n \\right],h\\left[ n \\right]
x[n],h[n]的z变换分别是：
X
(
z
)
=
2
z
−
1
X\\left( z \\right) = {2 \\over {z - 1}}
X(z)=z−12
h [ n ] = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k δ [ n − k ] = ( − 1 ) n ⋅ u [ n ] h\\left[ n \\right] = \\sum\\limits_{k = 0}^\\infty {\\left( { - 1} \\right)^k \\delta \\left[ {n - k} \\right]} = \\left( { - 1} \\right)^n \\cdot u\\left[ n \\right] h[n]=k=0∑∞(−1)kδ[n−k]=(−1)n⋅u[n]
H ( z ) = z z + 1 H\\left( z \\right) = {z \\over {z + 1}} H(z)=z+1z
那么，根据z变换的卷积定理，
y
[
n
]
=
x
[
n
]
∗
h
[
n
]
y\\left[ n \\right] = x\\left[ n \\right] * h\\left[ n \\right]
y[n]=x[n]∗h[n]对应的z变换为：
Y
(
z
)
=
X
(
z
)
⋅
H
(
z
)
=
2
z
−
1
⋅
z
z
+
1
=
z
z
−
1
+
−
z
z
+
1
Y\\left( z \\right) = X\\left( z \\right) \\cdot H\\left( z \\right) = {2 \\over {z - 1}} \\cdot {z \\over {z + 1}} = {z \\over {z - 1}} + {{ - z} \\over {z + 1}}
Y(z)=X(z)⋅H(z)=z−12⋅z+1z=z−1z+z+1−2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第八小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题