2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第四小题
Posted 卓晴
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▓ 第十一次作业各个小题参考答案
§04 第四小题
4. 以及因果序列的 z z z变换 X ( z ) X\\left( z \\right) X(z)， 求序列的初值 x [ 0 ] x\\left[ 0 \\right] x[0],与终止 x [ ∞ ] x\\left[ \\infty \\right] x[∞]。
（1）
X ( z ) = 1 + z − 1 + z − 2 ( 1 − z − 1 ) ⋅ ( 1 − 2 z − 1 ) X\\left( z \\right) = {{1 + z^{ - 1} + z^{ - 2} } \\over {\\left( {1 - z^{ - 1} } \\right) \\cdot \\left( {1 - 2z^{ - 1} } \\right)}} X(z)=(1−z−1)⋅(1−2z−1)1+z−1+z−2
（2）
X ( z ) = 1 ( 1 − 0.5 z − 1 ) ( 1 + 0.5 z − 1 ) X\\left( z \\right) = {1 \\over {\\left( {1 - 0.5z^{ - 1} } \\right)\\left( {1 + 0.5z^{ - 1} } \\right)}} X(z)=(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)1
（3）
X ( z ) = z − 1 1 − 1.5 z − 1 + 0.5 z − 2 X\\left( z \\right) = {{z^{ - 1} } \\over {1 - 1.5z^{ - 1} + 0.5z^{ - 2} }} X(z)=1−1.5z−1+0.5z−2z−1
（4）
X ( z ) = z 4 ( z − 1 ) ( z − 0.5 ) ( z − 0.2 ) X\\left( z \\right) = {{z^4 } \\over {\\left( {z - 1} \\right)\\left( {z - 0.5} \\right)\\left( {z - 0.2} \\right)}} X(z)=(z−1)(z−0.5)(z−0.2)z4
▓ 求解：
（1）解答：
X
(
z
)
=
1
+
z
−
1
+
z
−
2
(
1
−
z
−
1
)
⋅
(
1
−
2
z
−
1
)
X\\left( z \\right) = {{1 + z^{ - 1} + z^{ - 2} } \\over {\\left( {1 - z^{ - 1} } \\right) \\cdot \\left( {1 - 2z^{ - 1} } \\right)}}
X(z)=(1−z−1)⋅(1−2z−1)1+z−1+z−2
x
[
0
]
=
X
(
∞
)
=
1
x\\left[ 0 \\right] = X\\left( \\infty \\right) = 1
x[0]=X(∞)=1
由于存在极点位于2，处于单位圆外，所以
x
[
∞
]
x\\left[ \\infty \\right]
x[∞]不存在。
>>iztrans((1+1/z+1/z/z)/((1-1/z)*(1-2/z)))'
ans=(7*2^n)/2 +kroneckerDelta(n,0)/2 -3
（2）解答：
X
(
z
)
=
1
(
1
−
0.5
z
−
1
)
(
1
+
0.5
z
−
1
)
X\\left( z \\right) = {1 \\over {\\left( {1 - 0.5z^{ - 1} } \\right)\\left( {1 + 0.5z^{ - 1} } \\right)}}
X(z)=(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)1
x [ 0 ] = X ( ∞ ) = 1 x\\left[ 0 \\right] = X\\left( \\infty \\right) = 1 x[0]=X(∞)=1 x [ ∞ ] = lim z → 1 z − 1 ( 1 − 0.5 z − 1 ) ( 1 + 0.5 z − 1 ) = 0 x\\left[ \\infty \\right] = \\mathop {\\lim }\\limits_{z \\to 1} {{z - 1} \\over {\\left( {1 - 0.5z^{ - 1} } \\right)\\left( {1 + 0.5z^{ - 1} } \\right)}} = 0 x[∞]=z→1lim(1−0.5z−1)(1+0.5z−1)z−1=0
>>iztrans(1/((1-0.5/z)*(1+0.5/z)))'
ans=(-1/2)^n/2 +(1/2)^n/2
（3）解答：
X
(
z
)
=
z
−
1
1
−
1.5
z
−
1
+
0.5
z
−
2
X\\left( z \\right) = {{z^{ - 1} } \\over {1 - 1.5z^{ - 1} + 0.5z^{ - 2} }}
X(z)=1−1.5z−1+0.5z−2z−1
x [ 0 ] = X ( ∞ ) = 0 x\\left[ 0 \\right] = X\\left( \\infty \\right) = 0 x[0]=X(∞)=0
x [ ∞ ] = lim z → 1 z − 1 ( z − 1 ) 1 − 1.5 z − 1 + 0.5 z − 2 = lim z → 1 z z − 0.5 = 2 x\\left[ \\infty \\right] = \\mathop {\\lim }\\limits_{z \\to 1} {{z^{ - 1} \\left( {z - 1} \\right)} \\over {1 - 1.5z^{ - 1} + 0.5z^{ - 2} }} = \\mathop {\\lim }\\limits_{z \\to 1} {z \\over {z - 0.5}} = 2 x[∞]=z→1lim1−1.5z−1+0.5z−2z−1(z−1)=z→1limz−0.5z=2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第八小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题