数字信号处理傅里叶变换性质 ( 序列对称分解定理示例 | 共轭对称序列与原序列之间的关系 | 共轭反对称序列与原序列之间的关系 )

Posted 2022-03-17 韩曙亮

文章目录

• 一、序列对称分解定理示例
• • 1、序列对称分解定理
  • 2、因果序列
  • 3、求解过程
  • • n < 0 情况
    • n = 0 情况
    • n > 0 情况
    • 实因果序列的对称序列与原序列关系

一、序列对称分解定理示例

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实因果序列 $h(n)$ ,

其 共轭对称序列 $h_e(n)$ ,

其 共轭反对称序列 $h_o(n)$ ,

找出 $h(n)$ 与 $h_e(n)$ 序列的关系 , $h(n)$ 与 $h_o(n)$ 序列的关系 ;

1、序列对称分解定理

任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

2、因果序列

① 离散时间系统因果性 :

" 离散时间系统 " $n$ 时刻 的 " 输出 " ,

只取决于 $n$ 时刻 及 $n$ 时刻 之前 的 " 输入序列 " ,

与 $n$ 时刻之后 的 " 输入序列 " 无关 ;

离散时间系统 的 " 输出结果 " 与 " 未来输入 " 无关 ;

" ② 离散时间系统因果性 " 的 充分必要条件是 :

$$h(n)=0n<0$$

模拟系统的 " 单位冲激响应 " , 必须 从 $0$ 时刻开始才有值 , 是 " 单边序列 " 类型中的 " 右边序列 " , $0$ 时刻的值 也就是 起点不能为 $0$ ;

3、求解过程

$h(n)$ 实序列的奇偶对称 :

• 偶对称 ( 共轭对称 ) : $h_e(n)=h_e(-n)$
• 奇对称 ( 共轭反对称 ) : $h_o(n)=-h_o(-n)$

n < 0 情况

$h(n)$ 是因果序列 , 对于 $n<0$ 时 , $h(n)=0$ ,

根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系 , 可以得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(-n)]$$

其中 , 将 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_e(n)=0.5\times [h(n)+h(-n)]=0.5\times [0+h(-n)]=0.5\times h(-n)$$

根据 序列对称分解定理 , 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系 , 可以得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)-h(-n)]$$

其中 , 将 $h(n)=0$ 代入上式 , 可得到

$$h_o(n)=0.5\times [h(n)-h(-n)]=0.5\times [0-h(-n)]=-0.5\times h(-n)$$

n = 0 情况

由于 $h_e(n)$ 是偶对称的 , $h_o(n)$ 是奇对称的 , 因此有

$$h_e(0)=h(0)$$

$$h_o(0)=0$$

n > 0 情况

$h(n)$ 是因果序列 , 对于 n > 0