数字信号处理傅里叶变换性质 ( 频域函数的共轭对称分解 | 序列的傅里叶变换 | 傅里叶变换的共轭对称 | 傅里叶变换的共轭反对称 )

Posted 2022-03-17 韩曙亮

文章目录

• 一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解
• 二、序列对称分解定理
• 三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称

$x(n)$ 的 傅里叶变换 是 $X(e^{j\omega })$ ,

$x(n)$ 存在 共轭对称 $x_e(n)$ 与 共轭反对称 $x_o(n)$ ,

$X(e^{j\omega })$ 也存在着 共轭对称 $X_e(e^{j\omega })$ 和 共轭反对称 $X_o(e^{j\omega })$ ;

一、频域函数 ( 傅里叶变换 ) 的共轭对称分解

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频域函数的共轭对称分解 :

任意函数

$$X(e^{j\omega })$$

都可以分解成 共轭对称分量

$$X_e(e^{j\omega })$$

和 共轭反对称分量

$$X_o(e^{j\omega })$$

之和 , 表示为 :

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

二、序列对称分解定理

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序列对称分解定理 :

任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

$x(n)$ 的 傅里叶变换 是 $X(e^{j\omega })$ ,

$x(n)$ 存在 共轭对称 $x_e(n)$ 与 共轭反对称 $x_o(n)$ ,

$X(e^{j\omega })$ 也存在着 共轭对称 $X_e(e^{j\omega })$ 和 共轭反对称 $X_o(e^{j\omega })$ ;

三、傅里叶变换的共轭对称与共轭反对称

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在

$$X(e^{j\omega })=X_e(e^{j\omega })+X_o(e^{j\omega })$$

式子中 , 根据 序列对称分解定理 ,

$$X_e(e^{j\omega })=0.5\times [X(e^{j\omega })+X^{\ast }(e^{-j\omega })]$$

$$X_o(e^{j\omega })=0.5\times [X(e^{j\omega })-X^{\ast }(e^{-j\omega })]$$

其中 $X_e(e^{j\omega })$ 是共轭对称的 , 对应实数的 偶对称 , 有如下特性 :

X e ( e j ω