数字信号处理傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 推论 )

Posted 2022-03-19 韩曙亮

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• 一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论
• 二、证明推论一

一、序列傅里叶变换共轭对称性质 推论

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推论一 : 序列 $x(n)$ 的 共轭序列 $x^{\ast }(n)$ 的 傅里叶变换 :

$$x^{\ast }(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}^{\ast }(e^{-j\omega })$$

推论二 : 原序列为 $x(n)$ , 则 $x^{\ast }(-n)$ 的 傅里叶变换 :

$$x^{\ast }(-n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}^{\ast }(e^{j\omega })$$

二、证明推论一

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证明推论一 : 序列 $x(n)$ 的 共轭序列 $x^{\ast }(n)$ 的 傅里叶变换 :

$$x^{\ast }(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}^{\ast }(e^{-j\omega })$$

根据 傅里叶变换的公式 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

以及共轭的性质 :

$$(a+b{)}^{\ast }=a^{\ast }+b^{\ast }$$

$x(n)$ 的傅里叶变换为 :

$$SFT[x(n)]=X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

$x^{\ast }(n)$ 的傅里叶变换为 :

$$SFT[x^{\ast }(n)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)e^{-j\omega n}$$

将共轭提取到外部 , $e^{-j\omega n}$ 就变成 $e^{j\omega n}$ 了 , 可得到 :

$$SFT[x^{\ast }(n)]=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{x}^{\ast }(n)e^{-j\omega n}=[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{j\omega n}{]}^{\ast }$$

最终得到 :

$$x^{\ast }(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}^{\ast }(e^{-j\omega })$$