数字信号处理傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | 序列实偶 傅里叶变换 实偶 | 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 | 证明 “ 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 “ )

Posted 2022-03-19 韩曙亮

文章目录

• 一、序列实偶 傅里叶变换 实偶
• 二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇
• 三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "
• • 1、前置公式定理
  • • ①、序列实部傅里叶变换
    • ②、序列虚部傅里叶变换
    • ③、共轭对称序列傅里叶变换
    • ④、共轭反对称序列傅里叶变换
  • 2、证明过程
  • • 实序列 傅里叶变换
    • 奇对称序列 傅里叶变换
    • 实序列 奇对称序列 的 傅里叶变换 虚奇 特征

一、序列实偶 傅里叶变换 实偶

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如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 偶对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 实序列 " , " 偶对称的 " ;

二、序列实奇 傅里叶变换 虚奇

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如果 $x(n)$ 序列 是 " 实序列 " , " 奇对称的 " , 则其傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 也是 " 虚序列 " , " 奇对称的 " ;

三、证明 " 序列实奇 傅里叶变换 虚奇 "

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1、前置公式定理

①、序列实部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

②、序列虚部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 虚部 $x_I(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭反对称序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 具备 共轭反对称性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_o(e^{j\omega })$$

③、共轭对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

④、共轭反对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、证明过程

实序列 傅里叶变换

$x(n)$ 为 " 实序列 " ,

根据 $x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$; $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 的特征 :

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

性质 , 其 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 有如下特性 :

$$X(e^{j\omega })=X^{\ast }(e^{-j\omega })$$

奇对称序列 傅里叶变换

x ( n