数字信号处理傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 )

Posted 2022-03-19 韩曙亮

文章目录

• 一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例
• • 1、序列傅里叶变换共轭对称性质
  • • 1、序列实部傅里叶变换
    • 2、序列虚部傅里叶变换
    • 3、共轭对称序列傅里叶变换
    • 4、共轭反对称序列傅里叶变换
• 2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换
• 3、序列分析

一、序列傅里叶变换共轭对称性质示例

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$x(n)=a^{n}u(n)$ , 且 $|a|<1$

1、序列傅里叶变换共轭对称性质

1、序列实部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 实部 $x_R(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭对称序列 $X_e(e^{j\omega })$;

$x_R(n)$ 的 傅里叶变换 $X_e(e^{j\omega })$ 具备 共轭对称性 ;

$$x_R(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_e(e^{j\omega })$$

2、序列虚部傅里叶变换

$x(n)$ 序列的 虚部 $x_I(n)$ 的 傅里叶变换 , 就是 $x(n)$ 的 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 的 共轭反对称序列 $X_o(e^{j\omega })$;

$j{x}_I(n)$ 的 傅里叶变换 $X_o(e^{j\omega })$ 具备 共轭反对称性 :

$$j{x}_I(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_o(e^{j\omega })$$

3、共轭对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭对称序列 $x_e(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 实序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_e(n)\stackrel{SFT}{⟷}{X}_R(e^{j\omega })$$

4、共轭反对称序列傅里叶变换

$x(n)$ 的 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 的 傅里叶变换 , 一定是一个 纯虚序列 $X_R(e^{j\omega })$

$$x_o(n)\stackrel{SFT}{⟷}j{X}_I(e^{j\omega })$$

2、求 a^n u(n) 的傅里叶变换

根据 傅里叶变换公式 计算 $x(n)$ 的傅里叶变换 , 公式如下 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

将

$$a^{n}u(n)$$

序列 , 直接带入到

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶变换公式中 , 可得到 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=0}^{+\infty }{a}^n{e}^{-j\omega n}$$

根据 " 等比级数求和 " 公式 , 可以得到

$$X(e^{j\omega })=\frac{1}{1-a{e}^{-j\omega }}$$

3、序列分析

该信号 $x(n)$ 是实信号 , 该信号既不是偶对称的 , 也不是奇对称的 ;

• 只有序列是偶对称时 , 才有 x e ( n ) ⟷ S F T X R ( e j

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