数字信号处理傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质 | x(n) 分解为实部序列与虚部序列 | 实部傅里叶变换 | 虚部傅里叶变换 | 共轭对称傅里叶变换 | 共轭反对称傅里叶变换 )

Posted 韩曙亮

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文章目录





一、前置概念




1、序列对称分解定理


序列对称分解定理 : 任意一个 序列 x ( n ) x(n) x(n) , 都可以使用其 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 之和来表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n)

共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x e ( n ) = 0.5 [ x ( n ) + x ∗ ( − n ) ] x_e(n) = 0.5[x(n) + x^*(-n)] xe(n)=0.5[x(n)+x(n)]

共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n)原序列 x ( n ) x(n) x(n) 之间的关系如下 :

x o ( n ) = 0.5 [ x ( n ) − x ∗ ( − n ) ] x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)] xo(n)=0.5[x(n)x(n)]


2、傅里叶变换


x ( n ) x(n) x(n)傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^j \\omega) X(ejω) ,

x ( n ) x(n) x(n) 存在 共轭对称 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称 x o ( n ) x_o(n) xo(n) ,

X ( e j ω ) X(e^j \\omega) X(ejω) 也存在着 共轭对称 X e ( e j ω ) X_e(e^j\\omega) Xe(ejω)共轭反对称 X o ( e j ω ) X_o(e^j\\omega) Xo(ejω) ;


3、傅里叶变换的共轭对称分解


傅里叶变换的共轭对称分解 :

X ( e j ω ) = X e ( e j ω ) + X o ( e j ω ) X(e^j\\omega) = X_e(e^j\\omega) + X_o(e^j\\omega) X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)

其中 X ( e j ω ) X(e^j\\omega) X(ejω) x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , X e ( e j ω ) X_e(e^j\\omega) Xe(ejω) 是傅里叶变换的 共轭对称分量 , X o ( e j ω ) X_o(e^j\\omega) Xo(ejω) 是傅里叶变换的 共轭反对称分量 ,





二、序列傅里叶变换共轭对称性质




0、序列傅里叶变换共轭对称性质


x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 可以分解为 实部序列 x R ( n ) x_R(n) xR(n)虚部序列 j x I ( n ) j x_I(n) jxI(n) :

x ( n ) = x R ( n ) + j x I ( n ) x(n) = x_R(n) + j x_I(n) x(n)=xR(n)+jxI(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 , x ( n ) x(n) x(n) 还可以由序列的 共轭对称序列 x e ( n ) x_e(n) xe(n)共轭反对称序列 x o ( n ) x_o(n) xo(n) 之和表示 ;

x ( n ) = x e ( n ) + x o ( n ) x(n) = x_e(n) + x_o(n) x(n)=xe(n)+xo(n)


X(e^jω) 分解为实部序列与虚部序列

x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 X ( e j ω ) X(e^j\\omega) X(ejω) 也可以分解为 实部序列 X R ( e j ω ) X_R(e^j\\omega) XR(ejω)虚部序列 j X I ( e j ω ) j X_I(e^j\\omega) jXI(ejω) :

X ( e j ω ) = X R ( e j ω ) + j X I ( e j ω ) X(e^j\\omega) =X_R(e^j\\omega)+ j X_I(e^j\\omega) X(ejω)=XR(ejω)+jXI(ejω)

X(e^jω) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 , x ( n ) x(n) x(n) 的傅里叶变换 , 可以由 x ( n ) x(n) x(n)共轭对称序列 的傅里叶变换 X e ( e j ω ) X_e(e^j\\omega) Xe(ejω) x ( n ) x(n) x(n)共轭反对称序

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