数字信号处理傅里叶变换性质 ( 共轭对称共轭反对称 与 偶对称奇对称关联 | 序列对称分解定理 )

Posted 2022-03-15 韩曙亮

文章目录

• 一、共轭对称、共轭反对称 与 偶对称、奇对称关联
• 二、序列对称分解定理
• • 证明过程
• 总结

一、共轭对称、共轭反对称 与 偶对称、奇对称关联

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实序列 :

• 偶对称 : $x(n)=x(-n)$
• 奇对称 : $x(n)=-x(-n)$

复序列 :

• 共轭对称 : $x(n)=x^{\ast }(-n)$
• 共轭反对称 : $x(n)=-x^{\ast }(-n)$

对于 实序列 来说 , 共轭对称 就是 偶对称 ;

对于 实序列 来说 , 共轭反对称 就是 奇对称 ;

二、序列对称分解定理

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任意一个 序列 $x(n)$ , 都可以使用其 共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 共轭反对称序列 $x_o(n)$ 之和来表示 ;

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)$$

共轭对称序列 $x_e(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 $x_o(n)$ 与 原序列 $x(n)$ 之间的关系如下 :

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

证明过程

已知 : 任意序列可以由其 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 之和表示 ,

$$x(n)=x_e(n)+x_o(n)①$$

$x(n)$ 的 共轭对称序列是 $x^{\ast }(-n)$ , 记做 $x_e(n)$ ;

$x(n)$ 的 共轭反对称序列是 $-x^{\ast }(-n)$ , 记做 $x_o(n)$ ;

将 ① 公式的 两边取 共轭 , 使用 $-n$ 代替 $n$ , 得到 :

$$x^{\ast }(n)=x_e^{\ast }(-n)+x_o^{\ast }(-n)②$$

根据共轭对称性质 $x(n)=x^{\ast }(-n)$ , 可知 $x_e^{\ast }(-n)=x_e(n)③$ ;

根据共轭反对称性质 $x(n)=-x^{\ast }(-n)$ , 可得到 $-x_o^{\ast }(-n)=x_o(n)$ , 将负号移到等式右边 可得 $x_o^{\ast }(-n)=-x_o(n)④$ ;

将 ③ 和 ④ 带入到 ② 中 , 得到 :

$$x^{\ast }(n)=x_e(n)-x_o(n)⑤$$

① 和 ⑤ 公式相加 , $x_o(n)$ 项抵消了 , 可得到

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

① 和 ⑤ 公式相减 , $x_e(n)$ 项抵消了 , 可得到

$$x_o(n)=0.5[x(n)-x^{\ast }(-n)]$$

总结

任意一个序列 , 都存在 共轭对称序列 与 共轭反对称序列 ,

共轭对称序列 与 原序列 的关系 :

$$x_e(n)=0.5[x(n)+x^{\ast }(-n)]$$

共轭反对称序列 与 原序列 的关系 :

x o ( n ) = 0.5 [ x (