编程之美找符合条件的整数

Posted 2020-07-08

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了编程之美找符合条件的整数相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

　　任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M > 1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。

　　看了题目要求之后，我们首先想到从小到大枚举M的取值，然后再计算N*M，最后判断它们的乘积是否只含有1和0。大体思路可以用下面的伪代码实现：

1 for (M = 2; ; M++)
2 {
3     product = N * M; 
4     if (hasOnlyOneAndZero(product))
5         output N, M, product, and return; 
6 }

　　但问题很快就出现了，什么时候应该终止循环呢？这个循环会终止吗？即使能终止，也许这个循环仍须要耗费太多的时间，比如N = 99时，M = 1122334455667789，N * M = 111111111111111111。

分析与解法

　　题目中直接做法显然不是一个令人满意的方法。还有没有其他的方法呢？答案是肯定的。

方法一：转化后枚举

　　可以对问题做一个转化：求一个最小的正整数X，X的十进制表示中只有0和1，而且X%N=0。

　　我们可以发现，只包含0和1的数X是这样的:1，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，1100，1101，1110，1111，10000……

　　对X循环，依次检查是否能被N整除，如果可以，就找到了最小的X，然后我们可以通过X求出M。

　　不难发现，如果最终的X有K位，那么我们的算法时间复杂度至少是O(2^K)，还能不能改进呢？

方法二：类动态规划

　　引入变量J=X%N，用数组bigint[J]表示除N余数为J的最小的正整数X，则bigint[0]即是我们所求。

　　对于任意整数X=10ⁱ+K，我们有J=X%N=(10ⁱ+K)%N=(10ⁱ%N+K%N)%N。

　　那么，如果bigint[J]还没有计算出来，我们可以用如下方法算得：

　　　　bigint[J]=10ⁱ+bigint[K%N]

　　如果bigint[J]已经存在的话，我们就不更新它的值。

　　为了方便，我们用一个可变长数组来表示bigint[J]，如下代码中使用vector<int>来表示。

　　1001表示为10⁰+10³，即bigint[J]={0, 3}。

　　参考代码如下所示：

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 using namespace std; 
 4 
 5 typedef long long LL; 
 6 
 7 const int maxn = 1000007; 
 8 vector<int> bigint[maxn]; 
 9 
10 LL tenPow(int n)
11 {
12     LL ret = 1; 
13     for (int i = 0; i < n; i++)
14         ret *= 10; 
15     return ret; 
16 }
17 
18 LL bigintToLL(vector<int> bigint)
19 {
20     int len = bigint.size(); 
21     LL ret = 0; 
22     for (int i = 0; i < len; i++)
23         ret += tenPow(bigint[i]); 
24     return ret; 
25 }
26 
27 void solve(int N)
28 {
29     for (int i = 0; i < N; i++)
30         bigint[i].clear(); 
31     
32     bigint[1].push_back(0); 
33     
34     for (int i = 1, j = 10 % N; ; i++, j = (j * 10) % N)
35     {
36         bool flag = false; 
37         if (bigint[j].size() == 0)
38         {
39             flag = true; 
40             bigint[j].push_back(i); 
41         }
42         
43         for (int k = 1; k < N; k++)
44         {
45             int r = (k + j) % N; 
46             if ((bigint[k].size() > 0) 
47                 && (i > bigint[k][bigint[k].size()-1])
48                 && (bigint[r].size() == 0))
49             {
50                 flag = true; 
51                 bigint[r] = bigint[k]; 
52                 bigint[r].push_back(i); 
53             }
54         }
55         if (bigint[0].size() > 0)
56         {
57             break;
58         }
59     }
60 }
61 
62 int main(int argc, char *argv[])
63 {
64     int N; 
65     while (cin >> N)
66     {
67         solve(N); 
68         
69         if (bigint[0].size() == 0)
70         {
71             cout << "M not exist" << endl;
72             break;
73         }
74         else 
75         {
76             cout << N << " * " << bigintToLL(bigint[0]) / N 
77                  << " = " << bigintToLL(bigint[0]) << endl;
78         }
79     }
80 }