编程之美数组分割

Posted 2020-07-13

　　有一个无序、元素个数为2n的正整数数组，要求：如何能把这个数组分割为元素个数为n的两个数组，并使两个子数组的和最接近？

分析与解法

　　从题目中可以分析出，题目的本质就是要从2n个整数中找出n个，使得它们的和尽可能地靠近所有整数之和的一半。

解法一：不靠谱的解法

　　先将数组的所有元素排序，然后划分为S₁ = {a₁, a₃, ..., a_2n-1}和S₂ = {a₂, a₄, ..., a_2n}；

　　从S₁和S₂中找出一对数进行交换，使得两个集合中所有元素的和之间的差值尽可能的小，直到找不到可对换的。

　　这种想法的缺陷是得到的S₁和S₂并一定总是最优的。

解法二：搜索

　　假设2n个数之和的一半为target。我们要从2n个整数中找出n个元素的和，有三种可能：大于target、等于target和小于target。其中，大于和小于target这两种情况没有本质区别。因此，可以只考虑小于target的情况，而大于target的情况用来搜索中进行剪枝。

　　用closestset来存放当前找到的最接近target的n个数，closestsum为这n个数的和。

　　当搜索到n个数的和小于target且大于closestsum，则替换当前的最优解，直到搜索完毕。参考代码如下：

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 using namespace std; 
 4 
 5 const int maxn = 10007; 
 6 int arr[maxn]; 
 7 int n, target, closestsum;
 8 vector<int> closestset; 
 9 
10 void dfs(vector<int> path, int cur, int sum)
11 {
12     if (path.size() == n/2)
13     {
14         if (sum > closestsum) 
15         {
16             closestset = path; 
17             closestsum = sum; 
18         }
19         return ; 
20     }
21     if (cur == n)
22     {
23         return ; 
24     }
25     for (int i = cur; i < n; i++)
26     {
27         sum += arr[cur]; 
28         if (sum <= target)
29         {
30             path.push_back(arr[cur]); 
31             dfs(path, i+1, sum); 
32             sum -= arr[cur]; 
33             path.pop_back(); 
34         }
35         else 
36         {
37             sum -= arr[cur]; 
38         }
39     }
40 }
41 
42 int main(int argc, char *argv[])
43 {
44     while (cin >> n)
45     {
46         if (n % 2) 
47         {
48             cout << "enter an even number please:\\n"; 
49             continue; 
50         }
51         target = 0, closestsum = 0; 
52         closestset.clear(); 
53         for (int i = 0; i < n; i++)
54         {
55             cin >> arr[i]; 
56             target += arr[i]; 
57         }
58         target /= 2; 
59         vector<int> path; 
60         int sum = 0, cur = 0;
61         dfs(path, cur, sum); 
62         cout << target << " " << closestsum << endl; 
63     }
64 }

View Code

　　时间复杂度为O(2ⁿ)。