编程之美子数组的最大乘积

Posted 2020-07-12

　　给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法，不能用除法，计算任意(N-1)个数的组合中乘积最大的一组，并写出算法的时间复杂度。

　　我们把所有可能的(N-1)个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个(N-1)个数的组合，总的时间复杂度为O(N²)，显然这不是最好的解法。

分析与解法

解法一：空间换时间　　

　　用s[i]表示数组的前i个元素的乘积，即s[i]=a[0]*a[1]*...*a[i-1]=s[i-1]*a[i-1]，边界s[0]=1；

　　用t[i]表示数组的后N-i个元素的乘积，即t[i]=a[i]*a[i+1]*...*a[N-1]=a[i]*t[i+1]，边界t[N]=1；

　　用p[i]表示数组除第i个元素外，其他N-1个元素的乘积，即有p[i]=s[i-1]*t[i]。

　　最后求出最大的p[i]，时间复杂度为O(N)。

解法二：分析法

　　假设N个整数乘积为P，则：

　　(1) P=0

　　则数组中至少有一个0。假设除去0之后，其他N-1个数的乘积为Q。

　　若Q=0，则说明数组中至少有两个0，那么N-1个数的乘积只能为0；

　　若Q>0，则N-1个数的最大乘积为Q；

　　若Q<0，则N-1个数的最大乘积为0。

　　(2) P<0

　　去掉一个负数，即可得到正数。

　　要使这个正数最大，则去掉绝对值最小的负数即可。

　　(3) P>0

　　去掉最小的正数即可。

　　需要注意的是，直接求N个整数的乘积P，可能会溢出，事实上，我们只需要知道P的正负即可，并不需要得到值。可以通过求出数组中正数、负数和0的个数来判断P的正负性。时间复杂度O(N)。

思考问题

数组乘积问题：输入一个长度为n的整数数组input，输出一个长度为n的整数数组result，满足result=input数组中除了input[i]之外所有的数的乘积(假设不会溢出)。要求：具有线性的复杂度，且不能使用除法运算符。除了result数组外，能否使用O(1)的额外空间来完成这个问题呢？