[环上dp] JZOJ P1793 教主泡嫦娥

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了[环上dp] JZOJ P1793 教主泡嫦娥相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

Description

【问题背景】
  2012年12月21日下午3点14分35秒,全世界各国的总统以及领导人都已经汇聚在中国的方舟上。
  但也有很多百姓平民想搭乘方舟,毕竟他们不想就这么离开世界,所以他们决定要么登上方舟,要么毁掉方舟。

  LHX教主听说了这件事之后,果断扔掉了手中的船票。在地球即将毁灭的那一霎那,教主自制了一个小型火箭,奔向了月球……

  教主登上月球之后才发现,他的女朋友忘记带到月球了,为此他哭了一个月。
  但细心的教主立马想起了小学学过的一篇课文,叫做《嫦娥奔月》,于是教主决定,让嫦娥做自己的新任女友。

【题目描述】
  教主拿出他最新研制的LHX(Let\'s be Happy Xixi*^__^*)卫星定位系统,轻松地定位到了广寒宫的位置。
  见到嫦娥之后,教主用温柔而犀利的目光瞬间迷倒了嫦娥,但嫦娥也想考验一下教主。
  嫦娥对教主说:“看到那边的环形山了么?你从上面那个环走一圈我就答应你~”

  教主用LHX卫星定位系统查看了环形山的地形,环形山上一共有N个可以识别的落脚点,以顺时针1~N编号。每个落脚点都有一个海拔,相邻的落脚点海拔不同(第1个和第N个相邻)。
  教主可以选择从任意一个落脚点开始,顺时针或者逆时针走,每次走到一个相邻的落脚点,并且最后回到这个落脚点。
  教主在任意时刻,都会有“上升”、“下降”两种状态的其中一种。

  当教主从第i个落脚点,走到第j个落脚点的时候(i和j相邻)
  j的海拔高于i的海拔:如果教主处于上升状态,教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力;否则耗费高度差平方的体力。
  j的海拔低于i的海拔:如果教主处于下降状态,教主需要耗费两段高度差的绝对值的体力;否则耗费高度差平方的体力。
  
  当然,教主可以在到达一个落脚点的时候,选择切换自己的状态(上升→下降,下降→上升),每次切换需要耗费M点的体力。在起点的时候,教主可以自行选择状态并且不算切换状态,也就是说刚开始教主可以选择任意状态并且不耗费体力。

  教主希望花费最少的体力,让嫦娥成为自己的女朋友。
 

Input

  输入的第一行为两个正整数N与M,即落脚点的个数与切换状态所消耗的体力。
  接下来一行包含空格隔开的N个正整数,表示了每个落脚点的高度,题目保证了相邻落脚点高度不相同。

Output

  输出仅包含一个正整数,即教主走一圈所需消耗的最小体力值。
  注意:C++选手建议使用cout输出long long类型整数。
 

Sample Input

6 7
4 2 6 2 5 6

Sample Output

27

Hint

【样例说明】
  从第3个落脚点开始以下降状态向前走,并在第4个落脚点时切换为上升状态。
  这样共耗费4 +(7)+3+1+2^2+2^2+4=27点体力。

【数据规模】
  对于10%的数据,N ≤ 10;
  对于30%的数据,N ≤ 100,a[i] ≤ 1000;
  对于50%的数据,N ≤ 1000,a[i] ≤ 100000;
  对于100%的数据,N ≤ 10000,a[i] ≤ 1000000,M ≤ 1000000000;

题解

  • 50%的做法其实很简单,
  • 设f[i][0/1]现在在枚举到i,状态为0或1(上升或下降),枚举一个起始点,O(N)跑一次
  • 最后的时间复杂度就是O(N(N2))
  • 100%做法:
  • 设f[i][0..1][0..1]表示在第i个点,状态为0或1(上升或下降),是否改变过状态(0或1)。
  • 状态转移方程就是
  • //不用改变状态:
    f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+abs(a[i]-a[i-1]);
    f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+abs(a[i]-a[i-1]);
    //要改变状态:
    f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+sqr(a[i]-a[i-1]);
    f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+sqr(a[i]-a[i-1]);
  • 那么我们考虑一下对于改变状态的奇偶性(下面的图都是将环拆成一条链)
  • ①如果没有改变过状态,很容易统计答案 ans=min(f[n][0][0],f[n][1][0])
  • ②如果改变过奇数次状态(上图!!)
  • 显然,顺时针和逆时针改变的次数都一样,所以ans=min(f[n][0][1],f[n][1][1])
  • ③如果改变过偶数次状态
  • 显然这样的话,顺时针和逆时针的改变的状态的次数是不一样的
  • 所以要减去一个m
  • ans=min(f[n][0][0]-m,f[n][1][0]-m)

代码

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<memory.h>
 5 using namespace std;
 6 int a[10010],n,m;
 7 long long f[10010][2][2];
 8 long long sqr(long long x){return x*x;}
 9 void dp()
10 {
11     f[0][0][1]=f[0][1][1]=0x7fffffff;
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13         for(int j=0;j<2;j++)
14             if ((a[i]<a[i-1])^j)
15             {
16                 f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+abs(a[i]-a[i-1]);
17                 f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+abs(a[i]-a[i-1]);
18             }
19             else 
20             {
21                 f[i][j][0]=f[i-1][j][0]+sqr(a[i]-a[i-1]);
22                 f[i][j][1]=min(f[i-1][j][1],min(f[i-1][j^1][0],f[i-1][j^1][1])+m)+sqr(a[i]-a[i-1]);
23             }
24 }
25 int main()
26 {
27     scanf("%d%d",&n,&m);
28     for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",&a[i]);
29     a[n]=a[0];
30     memset(f,0,sizeof(f));
31     dp();
32     long long ans=min(min(f[n][0][0],f[n][0][1]),min(f[n][1][0],f[n][1][1]));
33     memset(f,0,sizeof(f)); f[0][0][0]=0x7fffffff;
34     dp();
35     ans=min(ans,f[n][1][1]-m);
36     memset(f,0,sizeof(f)); f[0][1][0]=0x7fffffff;
37     dp();
38     ans=min(ans,f[n][0][1]-m);   
39     cout<<ans;
40     return 0;
41 }

 

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