[树形dp][组合数] JZOJ P1794 保镖排队

Posted 2020-10-23 Loser~

Description

【问题背景】
　　教主LHX作为知名人物，时刻会有恐怖分子威胁他的生命。于是教主雇佣了一些保镖来保障他的人生安全。

【题目描述】
　　教主一共雇佣了N个保镖，编号为1~N。每个保镖虽然身手敏捷武功高强，但是他在其余N-1个保镖里，都会有一个“上司”，他会对他的上司言听计从。但一号保镖例外，他武功盖世，不惧怕其余任何保镖，所以他没有上司。
　　教主LHX会对这N个保镖进行定期视察。每次视察的时候，首先会让所有保镖排队。
　　对于每个保镖，在他心目中会对他的所有下属的武功实力排个队。
　　现在教主要求排出来的队伍满足：①互为上司-下属的两个保镖，上司在前，下属在后 ②对于一个保镖的所有下属，武功实力较强的在前，较弱的在后。
　　教主想知道，总的排队方法数除以10007的余数是多少。

 

Input

　　输入的第一行为一个正整数T，表示了数据组数。
　　对于每组数据：
　　第一行为一个正整数N。
　　接下来N行，每行描述一个保镖。
　　第i+1行，会有一个整数K，代表第i个保镖的下属个数，接下来K个数，代表第i个保镖的下属按照武功实力从高到低的编号。

Output

　　输出包括C行，每行对于每组数据输出方案数mod 10007后的结果。

 

Sample Input

2
5
2 2 3
2 4 5
0
0
0
7
2 2 3
2 4 5
2 6 7
0
0
0
0

Sample Output

3
10

Hint

【样例说明】
　　对于第1组数据，有以下3种排列是合法的：
　　1 2 4 3 5
　　1 2 3 4 5
　　1 2 4 5 3
　　同时满足了1在2与3之前且2在3之前，2在4与5之前且4在5之前

【数据规模】
　　对于20%的数据，有N ≤ 9；
　　对于40%的数据，有对于所有K，有K ≤ 2；
　　对于60%的数据，有N ≤ 100；
　　对于100%的数据，有T ≤ 10，N ≤ 1000，K ≤ N。

题解

• 首先要明确的是，属于不同子树的点可以混在一起，只要同一子树的有序就可以了。

• 如果一个结点有两个儿子l，r，并且l排在r的前面，那么总的方法数就是f[l]*f[r]*C(size[l]+size[r]-1,size[l]-1)

• 其含义是：容易想到，根据乘法原理，总共会有f[l]*f[r]种情况，对于每种情况，都可以有C(size[l]+size[r]-1,size[l]-1)种合并方法

• 子树总共有size[l]+size[r]个结点（不算根结点），因为l必排最前面，所以剩下的位置就是size[l]+size[r]-1个，其中属于l的总共就有size[l]-1个，这个就直接用组合数就算出来了

• 然后再一个个往后合并就好了

• 组合数可以直接用杨辉三角推出来，如果现算的话时间复杂度就比较高。尤其是RQNOJ的测评机都很蜗牛。

代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 int n,c[2500][2500],map[2500][2500],s[2500],f[2500],t;  
 6 void dp(int x)
 7 {
 8     int t; 
 9     f[x]=1; s[x]=0;
10     for (int i=map[x][0];i>=1;i--)
11     {
12            t=map[x][i];
13            dp(t);
14            f[x]=(((f[x]*f[t])%10007)*(c[s[t]+s[x]-1][s[t]-1]))%10007;
15            s[x]+=s[t];
16     }
17     s[x]=s[x]+1; 
18 }
19 int main()
20 {
21     c[0][0]=1;
22     for (int i=1;i<2500;++i)
23     {
24            c[i][0]=c[i][i]=1; 
25            for(int j=1;j<i;++j) c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%10007;
26     }
27     scanf("%d",&t);
28     for (int i=1;i<=t;i++)
29     {
30            scanf("%d",&n);
31         for (int i=1;i<=n;++i)
32         {
33                scanf("%d",&map[i][0]);
34                for(int j=1;j<=map[i][0];j++) scanf("%d",&map[i][j]);
35         }  
36            dp(1); 
37            printf("%d\n",f[1]);
38     }
39     return 0;
40 }