bzoj 3884: 上帝与集合的正确用法

Posted 2020-10-21 lokiii

参考：http://blog.csdn.net/sinat_27410769/article/details/46754209
首先看一下欧拉定理及扩展（还不会证先坑着
\[ a^n\equiv a^{n\%\phi(p)}\%p,[gcd(n,p)==1] \]
\[ a^n=a^{n\%\phi(p)+\phi(p)}\%p,[gcd(n,p)==1] \]
然后回到题目，首先把模数拆成\( p=2^kq \)的形式，发现这时q一定为奇数，满足互质条件
那么题目中的式子就可以通过欧拉公式转换为：
\[ 2^k(2^{(2^{2^{2^{...}}}-k)\%\phi(q)+\phi(q)}\%q) \]
递归求解，发现\( \phi(p) \)每次至少缩小一倍，所以总的递归深度是\( log_2p \)
phi值用的时候直接求会比线性块很多，因为次数大约是\( \sqrt{p}log_2p \)

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int T,n;
long long phi(int x)
{
    int re=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)
        {
            re-=re/i;
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    return x>1?re-re/x:re;
}
long long ksm(long long a,long long b,long long p)
{
    long long r=1ll;
    while(b)
    {
        if(b&1)
            r=r*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
long long f(int x)
{
    if(x==1)
        return 0;
    int p=phi(x);
    return ksm(2,f(p)+p,x);
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        printf("%lld\n",f(n));
    }
    return 0;
}