增根和失根：解方程的逻辑问题

Posted 2020-07-03 假如你是李华

方程的应用，减少了解决算术问题的思维量。有了方程，就不必砍腿去解鸡兔同笼了。列个方程，或是方程组，通过对方程进行代数变换，就可以解出未知量。

不过对方程进行代数变换是要讲逻辑的，不能随便乱变。前几天在 Quora 上看到类似这样的一道题：

已知

\( x+\frac{1}{x}=2\sqrt{5} \)  (1)

求

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}} \) (2)

如果直接从方程 (1) 中解出 \(x\), 再代入 (2) 式，非常麻烦。但是如果对 (1) 式两边平方：

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+2=20 \) (3)

再两边同减 2, 不难得到

\( {x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=18 \) (4)

那么问题来了：这么搞合理吗？有没有漏解？有人发表了这个简单解法之后，立马就有人质疑，说这样不保险，容易失根或产生增根。比如 \( x=2 \) 这个显然有且只有一解（实数范围内）的方程，把它两边平方，反而得到 \( {x}^{2}=4 \), 有两个解。

为什么会这样？两个数相等，它们的平方也应该相等啊，这是毫无疑问的，怎么平白无故多出一个根来？

这是因为，把方程两边平方，不是等价变形。即 \( a=b \) 能推出 \( {a}^{2}={b}^{2} \), \( {a}^{2}={b}^{2} \) 却推不出 \( a=b \). 只有两个方程能相互推出时，它们才互为等价变形，才能说这两个方程本质上是一个方程，解是一样的。解方程的时候，一定要注意这一点。

所以，把 (1) 式两边平方，并不严谨。不过，这也并不意味着，我们就必须把 \(x\) 解出来。反过来令 \( t={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}} \), 可得：

\( t+2={x}^2+\frac{1}{{x}^{2}}+2 \)

\( t+2={(x+\frac{1}{x})}^{2} \)

\( t+2=20 \)

\( t = 18 \)

这样在逻辑上就没有毛病了。