51nod-迷宫问题（Dijkstra算法）

Posted 2020-10-06 Veritas des Liberty

Dijkstra算法

你来到一个迷宫前。该迷宫由若干个房间组成，每个房间都有一个得分，第一次进入这个房间，你就可以得到这个分数。还有若干双向道路连结这些房间，你沿着这些道路从一个房间走到另外一个房间需要一些时间。游戏规定了你的起点和终点房间，你首要目标是从起点尽快到达终点，在满足首要目标的前提下，使得你的得分总和尽可能大。现在问题来了，给定房间、道路、分数、起点和终点等全部信息，你能计算在尽快离开迷宫的前提下，你的最大得分是多少么？

 

Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法，也是一个经典的贪心算法。所谓单源图 是规定一个起点的图，我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向（或者有向图），所有边权都是非负数。

 

算法描述：

节点集合V = {}空集合，距离初始化。
节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。

距离数组

起点 d[s] = 0
其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n,  i ≠ s。

 

循环n次

找到节点i 不属于 V，且d[i]值最小的节点i。

V = V + i

对所有满足j  V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i,  j))。

以下图为例，描述Dijkstra算法的运行过程：

 

初始，求A点到其他点的最短路径（也称单源最短路径）。

初始化A点

A点有3条边，AB（17），AE（16），AF（1）。

将3条边加入优先队列，此时队列中的元素为（只记录目标点）：

{1 F} | {16 E} | {17 B}

 

取出队列中最小的元素，{1 F}，F点是一个未处理过的点，因此得到了A点到F点的最短距离。更新距离，变为：

处理F点，F点有4条边。FA（1），FB（11），FD（14），FE（33）。其中FA已经处理过，所以忽略掉。

将3条边加入优先队列，注意，此时加入队列时，所有边的权值需要加上F点到A点的最短距离1。此时队列中的元素为：

{12 B} | {15 D}  | {16 E} | {17 B} | {34 E}

 

取出队列中最小的元素，{12 B}，B点是一个未处理过的点，因此得到了A点到B点的最短距离。更新距离，变为：

 

处理B点，B点有4条边。AB（17），BF（11），BC（6），BD（5）。其中AB，BF已经处理过，所以忽略掉。

将2条的权值加上A到B的最短路径12，加入优先队列。此时队列中的元素为：


{15 D}  | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}


取出队列中最小的元素，{15 D}，D点是一个未处理过的点，因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离，变为：

处理D点，D点有4条边。其中DC（10），DE（4）没有处理过。

将2条的权值加上A到D的最短路径15，加入优先队列。此时队列中的元素为：

{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{16 E}，E点是一个未处理过的点，因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离，变为：

处理E点，E点所连接的边都已经被处理过了。

此时优先队列中的元素为：

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 B}，B点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

 

 {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

 

取出队列中最小的元素，{17 D}，D点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

 

 {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{18 C}，C点是一个未处理过的点，因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离，变为：

Dijkstra算法的证明：

i  V,  d[i] = min{d[x] + w(x, i), x  V}

我们证明节点i要进入集合V时，d[i]确实是s到i的最短路长度 。
归纳证明： 起初 d[s] = 0满足条件。

假设之前集合V中的点全部满足假设，现在要加入节点i   V，假设任意从s到i的路径P＝ s…x y…i。
其中s..x全部在V中, y  V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。

根据d的定义，我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。
而且因为dijkstra选择最小的d加入，所以有d[y] ≥ d[i] 。
于是有路径P的长度， length(P) ≥  d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] ＋ length(y..i)  ≥  d[y] ≥ d[i]。
从而d[i]也是最短路的长度。得证。

最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。

 

输入

第一行4个整数n (<=500), m, start, end。n表示房间的个数，房间编号从0到(n - 1)，m表示道路数,任意两个房间之间最多只有一条道路，start和end表示起点和终点房间的编号。
第二行包含n个空格分隔的正整数(不超过600)，表示进入每个房间你的得分。
再接下来m行，每行3个空格分隔的整数x, y, z (0<z<=200)表示道路,表示从房间x到房间y(双向)的道路,注意，最多只有一条道路连结两个房间, 你需要的时间为z。
输入保证从start到end至少有一条路径。

输出

 

一行，两个空格分隔的整数，第一个表示你最少需要的时间，第二个表示你在最少时间前提下可以获得的最大得分。

 

输入示例

3 2 0 2
1 2 3
0 1 10
1 2 11

输出示例

21 6

 

大佬的代码

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int MAX = 550;
int co[MAX], dist[MAX], g[MAX][MAX],low[MAX];
int n, m, s, e;
bool vis[MAX];
void dijistra(){
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        dist[i] = INF;
    }
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(low,0,sizeof(vis));
    dist[s] = 0;
    low[s] = co[s];
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        int mins = INF, MAx = 0, pos;
        for(int j = 0; j < n; j ++){
            if(!vis[j] && dist[j] < mins){
                pos = j;
                mins = dist[j];
                MAx = co[j];
            }
            if(!vis[j] && dist[j] == mins && MAx < low[j]){
                pos = j;
                MAx = low[j];
            }
        }
        if(mins == INF)break;
        vis[pos] = true;
        for(int j = 1; j <= n; j ++){
            if(!vis[j] && dist[j] > dist[pos] + g[pos][j]){
                dist[j] = dist[pos] + g[pos][j];
                low[j] = low[pos] + co[j];
            }
            if(!vis[j] && low[j] < low[pos] + co[j] && dist[j] == dist[pos]+g[pos][j]){
                low[j] = low[pos] + co[j];
            }
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&e);
    for(int i = 0; i < n; i ++){
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            g[i][j] = (i==j)?0:INF;
    }
    for(int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d",&co[i]);
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        int u, v, w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        if(g[u][v] > w) {
            g[u][v] = g[v][u] = w;
        }
    }
    dijistra();
    printf("%d %d\n",dist[e],low[e]);
    return 0;
}