博弈论-sg函数

Posted 2020-10-03 PECHPO

今天A了张子苏大神的sg函数的题，感觉神清气爽。

一篇对于sg函数讲的很透彻的博文：http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617

我来整理一下：

问题1：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为胜，求必胜的方法。 

定义：若所有火柴数异或为0，则该状态被称为利他态，用字母T表示；否则， 为利己态，用S表示。

注意：这篇博文是先定义s和t，再通过它们的性质推出结论。

[定理1]：对于任何一个S态，总能从一堆火柴中取出若干个使之成为T态。

证明：

1. 若有n堆火柴，每堆火柴有A(i)根火柴数，那么既然现在处于S态， c = A(1) xor A(2) xor … xor A(n) > 0;
2. 把c表示成二进制，记它的二进制数的最高位为第p位，则必然存在一个A(t),它二进制的第p位也是1。（否则，若所有的A(i)的第p位都是0，这与c的第p位就也为0矛盾）。
3. 那么我们把x = A(t) xor c,则得到x < A(t).这是因为既然A(t)的第p位与c的第p位同为1,那么x的第p位变为0,而高于p的位并没有改变。所以x < A(t).而
4. A(1) xor A(2) xor … xor x xor … xor A(n)
5. = A(1) xor A(2) xor … xor A(t) xor c xor … xor A(n)
6. = A(1) xor A(2) xor… xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(n)
7. = 0
8. 这就是说从A(t)堆中取出 A(t) - x 根火柴后状态就会从S态变为T态。证毕。

[定理2]：T态，取任何一堆的若干根，都将成为S态。

1. 证明：用反证法试试。
2. 若
3. c = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) = 0；
4. c‘ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i‘) xor … xor A(n) = 0;
5. 则有：
6. c xor c‘ = A(1) xor A(2) xor … xor A(i) xor … xor A(n) xor A(1) xor A(2) xor … xor A(i‘)  xor … xor A(n) = A(i) xor A(i‘) =0
7. 进而推出A(i) = A(i‘)，这与已知矛盾。所以命题得证。

[定理 3]：S态，只要方法正确，必赢。 

1.   最终胜利即由S态转变为T态，任何一个S态，只要把它变为T态，（由定理1，可以把它变成T态。）对方只能把T态转变为S态(定理2)。这样，所有S态向T态的转变都可以有己方控制，对方只能被动地实现由T态转变为S态。因为全零属于T态，故S态必赢。（不能单单从对称拿取来考虑这个问题。例如a=b xor c，然后求sg这种情况。因为证不出来。。定理1只是说存在这种情况，并没有说对称拿取。）

[定理4]：T态，只要对方法正确，必败。 

1.   由定理3易得。 

问题2：今有若干堆火柴，两人依次从中拿取，规定每次只能从一堆中取若干根， 可将一堆全取走，但不可不取，最后取完者为负，求必胜的方法。

【未完待续】