bzoj1188 [HNOI2007]分裂游戏

Posted 2020-10-01 wfj_2048

Description

聪聪和睿睿最近迷上了一款叫做分裂的游戏。 该游戏的规则试： 共有 n 个瓶子， 标号为 0,1,2.....n-1, 第 i 个瓶子中装有 p[i]颗巧克力豆，两个人轮流取豆子，每一轮每人选择 3 个瓶子。标号为 i,j,k, 并要保证 i < j , j < = k 且第 i 个瓶子中至少要有 1 颗巧克力豆，随后这个人从第 i 个瓶子中拿走一颗豆 子并在 j,k 中各放入一粒豆子（j 可能等于 k） 。如果轮到某人而他无法按规则取豆子，那么他将输 掉比赛。胜利者可以拿走所有的巧克力豆！ 两人最后决定由聪聪先取豆子，为了能够得到最终的巧克力豆，聪聪自然希望赢得比赛。他思考 了一下，发现在有的情况下，先拿的人一定有办法取胜，但是他不知道对于其他情况是否有必胜 策略，更不知道第一步该如何取。他决定偷偷请教聪明的你，希望你能告诉他，在给定每个瓶子 中的最初豆子数后是否能让自己得到所有巧克力豆，他还希望你告诉他第一步该如何取，并且为 了必胜，第一步有多少种取法？ 假定 1 < n < = 21,p[i] < = 10000

Input

输入文件第一行是一个整数t表示测试数据的组数，接下来为t组测试数据（t<=10）。每组测试数据的第一行是瓶子的个数n，接下来的一行有n个由空格隔开的非负整数，表示每个瓶子中的豆子数。

Output

对于每组测试数据，输出包括两行，第一行为用一个空格两两隔开的三个整数，表示要想赢得游戏，第一步应该选取的3个瓶子的编号i,j,k，如果有多组符合要求的解，那么输出字典序最小的一组。如果无论如何都无法赢得游戏，那么输出用一个空格两两隔开的三个-1。第二行表示要想确保赢得比赛，第一步有多少种不同的取法。

Sample Input

2
4
1 0 1 5000
3
0 0 1

Sample Output

0 2 3
1
-1 -1 -1
0

 

正解：$SG$函数。

$HNOI$仅有的两道博弈论我都看了题解。。

这道题很有思维难度啊。。我们设$SG[i]$表示距离$n+1$为$i$步的状态的$SG$函数，显然$SG[1]=0$，我们可以依次求出$SG[i]$。

我们又发现，某个位置的豆子数只和它的奇偶性有关(这还是比较显然的，因为两人可以走相同的步，从而抵消掉)。于是我们把每一个位置看成一个子游戏，全局的$SG$值就是每个子游戏的$SG$值异或起来。

然后枚举$3$个位置，用$ans$异或当前位置的$SG$值，再异或转移以后两个位置的$SG$值，如果这个$SG$值为0，说明这个子状态必败，也就是题目求的一个方案。

 

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 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <cstdio>
 7 #include <vector>
 8 #include <cmath>
 9 #include <queue>
10 #include <stack>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define inf (1<<30)
14 #define N (1010)
15 #define il inline
16 #define RG register
17 #define ll long long
18 
19 using namespace std;
20 
21 int vis[N],sg[N],n,cnt,tot,ans;
22 
23 il int gi(){
24     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
25     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
26     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
27     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
28     return q*x;
29 }
30 
31 il int dfs(RG int n){
32   if (sg[n]!=-1) return sg[n]; ++cnt;
33   for (RG int i=1;i<n;++i)
34     for (RG int j=1;j<=i;++j)
35       vis[dfs(i)^dfs(j)]=cnt;
36   for (sg[n]=0;vis[sg[n]]==cnt;++sg[n]);
37   return sg[n];
38 }
39 
40 il void work(){
41   n=gi(),tot=ans=0;
42   for (RG int i=n,p;i;--i){
43     p=gi(); if (p&1) ans^=sg[i];
44   }
45   for (RG int i=1;i<n;++i)
46     for (RG int j=i+1;j<=n;++j)
47       for (RG int k=j;k<=n;++k)
48     if (!(ans^sg[n-i+1]^sg[n-j+1]^sg[n-k+1])){
49       if (++tot==1) printf("%d %d %d\n",i-1,j-1,k-1);
50     }
51   if (!tot) puts("-1 -1 -1"); printf("%d\n",tot); return;
52 }
53 
54 int main(){
55 #ifndef ONLINE_JUDGE
56     freopen("game.in","r",stdin);
57     freopen("game.out","w",stdout);
58 #endif
59     memset(sg,-1,sizeof(sg)),sg[1]=0;
60     for (RG int i=2;i<=22;++i) sg[i]=dfs(i);
61     RG int T=gi();
62     while (T--) work();
63     return 0;
64 }