聪明的质监员[NOIP2011]

Posted 2020-10-01 moyiii

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【问题描述】 
小 T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有n个矿石，从 1 到n逐一编号，每个矿石都有自己的重量wi以及价值vi。检验矿产的流程是： 
1. 给定 m个区间[Li,Ri]； 
2. 选出一个参数W； 
3. 对于一个区间[Li,Ri]，计算矿石在这个区间上的检验值Yi：Yi=∑j1×∑jvj, j∈[Li,Ri]且 wj≥W,j是矿石编号

这批矿产的检验结果Y为各个区间的检验值之和。即：Y=∑i=1mYi

若这批矿产的

检验结果与所给标准值 S 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小 T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 W 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 S，即使得S?Y的绝对值最小。请你帮忙求出这个最小值。 

【输入】 
输入文件 qc.in。

第一行包含三个整数n，m，S，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的n 行，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+1 行表示i 号矿石的重量wi 和价值vi 。
接下来的m 行，表示区间，每行2 个整数，中间用空格隔开，第i+n+1 行表示区间[Li,Ri]的两个端点Li 和Ri。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

 

【输出】
输出文件名为qc.out。
输出只有一行，包含一个整数，表示所求的最小值。

 

【输入输出样例】

qc.in

5 3 15
1 5
2 5
3 5
4 5
5 5
1 5
2 4
3 3

qc.out

10

 

【输入输出样例说明】
当W 选4 的时候，三个区间上检验值分别为20、5、0，这批矿产的检验结果为25，此时与标准值S 相差最小为10。

【数据范围】
对于10%的数据，有1≤n，m≤10；
对于30%的数据，有1≤n，m≤500；
对于50%的数据，有1≤n，m≤5,000；
对于70%的数据，有1≤n，m≤10,000；
对于100%的数据，有1≤n，m≤200,000，0 < wi, vi≤10^6，0 < S≤10^12，1≤Li≤Ri≤n。

 

【题解】

      对于我来说今天的题只有这一道相当可做，但是当时并没有意识到这一点……考试的时候想得太复杂，刚开始画绝对值函数想三分+线段树，打完了才发现线段树行不通，坚信这是一道线段树套Splay或无旋Treap区间求和的题，发现一来不太会打二来数据范围根本承受不了，然后万念俱灰直接弃疗打了个O(n^2)的暴力查询+三分。

       虽然这是个单峰函数，但是并不是必须三分。|y-s|与w的绝对值函数是单峰的，但是绝对值函数是根据y与w反相关的单调函数得来的，所以二分也能解决这个问题，只要寻找与最小值最接近的值即可。至于check，甚至不用什么数据结构，只要前缀和就能解决。把[l,r]转化成[1,r]-[1,l-1]，再分别统计到每个位置大于w的矿石个数、价值和，可以在O(n)的时间内计算出取此w的答案。

       一道NOIP题，十分清楚十分简单，却被我生生做成了“强行数据结构，自己还不会打”。前缀和、区间 转化这种方法在ad爷的数数题里面已经出现过，当时没想到，现在还是没想到。要充分利用已有的知识，以之为工具解决问题，这里的工具不仅有算法和数据结构，更有许多转化变通的思想。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int sj=200010;
int n,m,jd,w[sj],v[sj],l[sj],r[sj],zj,yj,cnt[sj];
long long s,jg,vh[sj];
long long check(int x)
{
     memset(cnt,0,sizeof(cnt));
     memset(vh,0,sizeof(vh));
     for(int i=1;i<=n;i++)
     {
        cnt[i]=cnt[i-1]+((w[i]>=x)?1:0);
        vh[i]=vh[i-1]+((w[i]>=x)?v[i]:0);
     }
     long long ans=0;
     for(int i=1;i<=m;i++)
        ans+=(vh[r[i]]-vh[l[i]-1])*(cnt[r[i]]-cnt[l[i]-1]);
     return ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%lld",&n,&m,&s);
    jg=s;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
       scanf("%d%d",&w[i],&v[i]);
       if(w[i]>jd) jd=w[i];
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
       scanf("%d%d",&l[i],&r[i]);
    yj=jd;
    zj=1;
    while(zj<yj-1)
    {
        int mid=(zj+yj)>>1;
        long long ans;
        ans=check(mid);
        if(ans>=s) zj=mid;
        else yj=mid;
        if(abs(ans-s)<jg) jg=abs(ans-s);
        if(jg==0) break;
    }
    long long ans=check(zj);
    if(abs(ans-s)<jg) jg=abs(ans-s);
    ans=check(yj);
    if(abs(ans-s)<jg) jg=abs(ans-s);
    printf("%lld",jg);
    return 0;
}

qc