bzoj1965 [Ahoi2005]SHUFFLE 洗牌 欧拉定理

Posted 2020-09-24 GXZlegend

题目描述

为了表彰小联为Samuel星球的探险所做出的贡献，小联被邀请参加Samuel星球近距离载人探险活动。 由于Samuel星球相当遥远，科学家们要在飞船中度过相当长的一段时间，小联提议用扑克牌打发长途旅行中的无聊时间。玩了几局之后，大家觉得单纯玩扑克牌对于像他们这样的高智商人才来说太简单了。有人提出了扑克牌的一种新的玩法。 对于扑克牌的一次洗牌是这样定义的，将一叠N（N为偶数）张扑克牌平均分成上下两叠，取下面一叠的第一张作为新的一叠的第一张，然后取上面一叠的第一张作为新的一叠的第二张，再取下面一叠的第二张作为新的一叠的第三张……如此交替直到所有的牌取完。 如果对一叠6张的扑克牌1 2 3 4 5 6，进行一次洗牌的过程如下图所示：  从图中可以看出经过一次洗牌，序列1 2 3 4 5 6变为4 1 5 2 6 3。当然，再对得到的序列进行一次洗牌，又会变为2 4 6 1 3 5。 游戏是这样的，如果给定长度为N的一叠扑克牌，并且牌面大小从1开始连续增加到N（不考虑花色），对这样的一叠扑克牌，进行M次洗牌。最先说出经过洗牌后的扑克牌序列中第L张扑克牌的牌面大小是多少的科学家得胜。小联想赢取游戏的胜利，你能帮助他吗？

输入

有三个用空格间隔的整数，分别表示N，M，L （其中0＜ N ≤ 10 ^ 10 ，0 ≤ M ≤ 10^ 10，且N为偶数）。

输出

单行输出指定的扑克牌的牌面大小。

样例输入

6 2 3

样例输出

6

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题解

欧拉定理

由题意，第i张牌洗牌后的位置是2i mod (n+1)。

那么原题就是要求$2^m·x\equiv l\ \ \ (mod\ (n+1))$的最小正整数解 。

直接使用乘法逆元将$2^m$除过去即可。

注意到$2^m$与$n+1$一定是互质的，因此由欧拉定理$a^{\varphi(p)}\equiv 1\ (mod\ p)$，可以求得$2^m$的逆元为$(2^m)^{\varphi(n+1)-1}$。

求一下欧拉函数并使用快速幂求解即可。

当然好像还有更快但是更麻烦的EXgcd算法

由于两个大数相乘会爆long long，因此还要使用快（man）速乘

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mul(ll x , ll y , ll mod)
{
	ll ans = 0;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = (ans + x) % mod;
		x = (x + x) % mod , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll pow(ll x , ll y , ll mod)
{
	ll ans = 1;
	while(y)
	{
		if(y & 1) ans = mul(ans , x , mod);
		x = mul(x , x , mod) , y >>= 1;
	}
	return ans;
}
ll phi(ll x)
{
	ll ans = x , i;
	for(i = 2 ; i * i <= x ; i ++ )
	{
		if(x % i == 0)
		{
			ans = ans / i * (i - 1);
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) ans = ans / x * (x - 1);
	return ans;
}
int main()
{
	ll n , m , l;
	scanf("%lld%lld%lld" , &n , &m , &l);
	printf("%lld\n" , mul(pow(pow(2 , m , n + 1) , phi(n + 1) - 1 , n + 1) , l , n + 1));
	return 0;
}