图论算法简介

Posted 2020-09-19

1.网络流

容量网络是一个有向图，图的边 ( u , v ) 有非负的权 c ( u , v ) ，被称为容量。
图中有一个被称为源（只有出边）的节点和一个被称为汇（只有入边）的节点。
实际通过每条边的流量记为 f ( u , v ) 。
残量网络是一个结构和容量网络相同的有向图，只不过边的权值为c ( u , v ) ? f ( u , v ) 。所有边上的流量集合被称为网络流。

在容量网络中，满足以下条件的网络流被称为 可行流。
? 容量限制：
0 ≤ f ( u , v ) ≤ c ( u , v )
? 流量守恒：对于非源汇节点 u ，满足

? 反对称性：f ( u , v ) = ? f ( v , u )

有最大流量的网络流称为 最大流。

 

给定一个可行流 f={fij}。若 fij = Cij，称<vi, vj>为饱和弧；否则称<vi, vj>为非饱和弧。
若 fij = 0，称<vi, vj>为零流弧；否则称<vi, vj>为非零流弧。
定义一条道路 P，起点是 S、终点是 T。把 P 上所有与 P 方向一致的弧定义为正向弧，正向弧的全体记为 P+；把 P 上所有与 P 方向相悖的弧定义为反向弧，反向弧的全体记为 P-。
譬如在上图中，P = (V1(S), V2, V3, V4(T))，那么
P + = { <V1, V2>, <V3, V4>}
P - = {<V2, V3>}
给定一个可行流 f，P 是从 S到 T的一条道路，如果满足：
Fij是非饱和流，并且<i,j>∈ P+ 或 fij是非零流，并且<i,j>∈ P-
那么就称 P 是 f 的一条可改进路。 （有些书上又称可增广轨）之所以称作“可改进” ，是因为可改进路上弧的流量通过一定的规则修改，可以令整个流量放大。
。如果 A是V的一个子集，A－=V-A，s∈A,t∈A－ ，则称边集（A， A－ ）为网络 N 的一个割，显然，若把某一割的弧从网络中丢去，则从 vs 到 vt 就不存在路。所以直观上讲，割是从 vs 到 vt的必经之道。
给定一割(A， A－)，把其中所有弧的容量之和称为这个割的容量，记为 c（A， A－ ） ，即：

网络 N中容量最小的割(A＊ ,A＊－ )称为 N的最小割。不难证明，任何一个可行流的流量 v(f)都不会超过任一割的容量，即 v(f)≤c(A，A－)。

可行流 f*为最大流，当且仅当不存在关于 f*的增广路径。
最大流最小割定理：在一个网络 N 中，从 vs 到 v t 的最大流的容量等于分离 vs,vt的最小割的容量。

Ford-Fulkerson算法

最大流问题实际上是求一可行流{f ij }，使得 v(f)达到最大。
若给了一个可行流 f，只要判断 N 中有无关于 f 的增广路径，如果有增广路径，改进 f，得到一个流量增大的新的可行流；
如果没有增广路径，则得到最大流。

Dinic 算法总是寻找最短的增广路，并沿着它增广。
因为最短增广路在增广过程中始终不会变短。所以无需每次都通过宽度优先搜索寻找最短增广路。我们可以先进行一次宽度优先搜索，然后考虑由近距离顶点指向远距离顶点的边所组成的分层图，在上面进行深度优先搜索寻找最短增广路。
如果在分层图上找不到新的增广路了，则说明最短增广路长度确定变长了，或是不存在增广路了，于是重新通过宽度优先搜索构造新的分层图。每一步构造分层图的复杂度为 O（E） ，而每一步完成之后最短增广路的长度至少增加 1，由于增广路长度不会超过|v|-1，因此最多重复 O（|v|）步就可以了。
另外，在每次对分层图进行深度优先搜索寻找增广路时，如果避免对一条没有用的边进行多次检查（这个优化称作当前弧优化） ，就可以保证复杂度为 O（|E||V|） ，这样总的复杂度就是 O（|E||V|2） 。不过，该算法在实际应用中速度非常快，很多时候即使图的规模比较大也没有问题。