离散数学-图论-哈密顿图及其应用

Posted 2020-09-17 yocichen

哈密顿图

一、定义概念

1.哈密顿通路

         设G=<V,E>为一图（无向图或有向图）.G中经过每个顶点一次且仅一次的通路称作哈密顿通路

2.哈密顿回路

         G中经过每个顶点一次且仅一次的回路（通路基础上+回到起始点）称作哈密顿回路

3.哈密顿图

        若G中存在哈密顿回路，则称它是哈密顿图

4.定义详解：

       （1）存在哈密顿通路（回路）的图一定是连通图；

       （2）哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路；

       （3）若G中存在哈密顿回路，则它一定存在哈密顿通路，反之不真（看课本的话，是必要条件，而不是充分条件，故不可反推！）

       （4）只有哈密顿通路，无哈密顿回路的图不叫哈密顿图；即，哈密顿图是回路

二、判定定理

注意：目前没有找到哈密顿图的简单的充要条件

       （1）设无向图G=<V,E>为哈密顿图，V1是V的任意真子集，则（注：n阶xx图指的是n个顶点，不要迷！）

                                                                p(G-V1)<=|V1|

       其中，p(G-V1)为G中删除V1后的所得图的连通分支数目，|V1|为V1集合中包含的顶点个数。【哈密顿图存在的必要条件】

       推论：有割点的图一定不是哈密顿图

       设v是图中的割点，则p(G-v)>=2,由上述定理知G不是哈密顿图

       （2）设G是n(n>=3)阶无向简单图，若对于G中的每一对不相邻的顶点u,v,均有

      d(u)+d(v)>=n-1

       则G中存在哈密顿通路。又若

        d(u)+d(v)>=n

       则G中存在哈密顿回路，即G为哈密顿图。【哈密顿图存在的充分条件，不是必要条件】

       其中d(u),d(v)分别代表顶点u,v的度数。

       推论：设G是n(n>=3)阶无向简单图，若G的最小度>=n/2,则G是哈密顿图。

       由推论知，对于完全图Kn,当n>=3时，是哈密顿图，完全二部图Kr,s当r==s>=2时是哈密顿图。

       （3）在n(n>=2)阶有向图D=<V,E>中，如果略去所有有向边的方向，所得无向图中含生成子图Kn,则D中存在哈密顿通路。

       推论：n(n>=3)阶有向完全图是哈密顿图。

1.常用方法判断是哈密顿图：

       （1）若能通过观察找出图G中的一条哈密顿回路，则G当然是哈密顿图。

       （2）若一个无向图G满足上述（2）中的条件，一个有向图D满足上述（3）的推论的条件，则G、D都是哈密顿图。

2.破坏哈密顿图存在的必要条件，判定不是哈密顿图：

       设n阶图G是哈密顿图，则G应该满足以下诸条件：

       （1）G必须是连通图；

       （2）G中的边数m必须大于等于顶点数n；

       （3）若G中存在2度顶点v,即d(v)=2,则与v关联的两条边ei,ej必须在G中的任何哈密顿回路上；

       （4）若G中存在每条哈密顿回路中出现的边，不能构成边数小于n的初级回路（圈）；

破坏以上诸条件中的一条，都不是哈密顿图。

加一道例题：
证明：某次国际会议8人参加一直每人至少与其余7人中的4人有共同语言问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就坐是的每个人都能与两边的人交谈？请用图论中的原理来解释原因。

                                           ==d(任意顶点)>=4;

任意选取两个不相邻顶点（i,j）

d(i)+d(j)>=4+4>8-1;

故存在哈密顿通路（即可以遍历顶点一圈（每个一次）--成为圈----对应一张圆桌）