离散数学2代数系统与图论个人总结

Posted 2020-08-25 脑洞的分析与证明

代数系统部分

基础定理 鸽巢原理

• 群论

1. 广群
2. 半群
3. 独异点
4. 群
1. 群的阶数与元素的阶数
2. 陪集与拉格朗日定理
3. 特殊群
   1. 交换/阿贝尔群
   2. 循环群
5. sylow定理

• 环与域

1. 环
2. 整环
3. 域

• 格论

1. 格
2. 分配格
3. 模格
4. 有界格
5. 补格

图论部分

基础定理 握手定理

握手定理，有n个人握手，每人握手x次，握手总次数为S= nx/2。

推出 图的度与边数的关系

• 基础概念

1. 路 节点与相邻的边交替出现 v0e1v1e2...vn-1envn
2. 回路  v0=vn的路//某教材虽然这么写 但题出的都是欧拉回路呵呵
3. 通路
4. 圈
5. 迹
6. 闭迹

• 图的表示

1. 邻接矩阵
2. 关联矩阵（横边纵点，有向图出1入-1

• 图的连通性

1. 无向图 连通/不连通
2. 有向图 强连通/单侧连通/弱连通
3. 证明方法：可达矩阵 特殊情况具体分析（欧拉图有充要条件，汉密尔顿充分/必要

• 欧拉图/汉密尔顿图

1. 欧拉路充分必要条件：1.连通图2. 0or2 个奇数度节点
2. 欧拉回路充分必要条件：1.连通图2.全是偶数度节点
3. 汉密尔顿路必要条件： W(G-S)<=|S|+1
4. 汉密尔顿路充分条件： 任意一对节点度数和大于等于n-1
5. 汉密尔顿回路必要条件： W(G-S)<=|S|
6. 汉密尔顿回路充分条件： 任意一对节点度数和大于等于n

• 二部图
• 平面图

1. 平面连通图的欧拉定理 v-e+r=2
2. 其推论(+2e>=3r) e<=3v-6
3. kuratowski定理 k3,3 k5二度节点内同构

• 树

1. 生成树
2. 最小生成树
3. 有向树
4. 根树
   1. 完全m叉树 k个分支节点内部路径和I,外部路径和E E=mk+(m-1)I
   2. 正则m叉树