图论2-sat总结

Posted 2020-06-13

2-sat总结

2-sat问题，一般表现的形式为。每一个点有两种方式a,b，要么选a，要么选b。而且点点之间有一些约束关系。比如：u和v至少一个选a。那么这就是一个表达式。把a当成真，b当成假，那就是u真或v真。2-sat的题目就是这样。给定这些约束，推断是否会矛盾

注意表达式的转化形式，（事实上就是离散数学中那几种转换方式）
比方（u真且v真）或（u假且v假）就能够转化成（u真或v假）且(u假或v真)，这样就能建立关系

2-sat中的原理，事实上和2染色是一样的，把每一个结点拆分成一个真结点和一个假结点
那么一个表达式(a真或b真)，假设a为假，那么b必须为真。b为假a必须为真，那么就在a假b真和b假a真结点之间建边。然后跑二染色就行推断了

一般有这么几种做法：
推出表达式（怎样化简）。然后直接搞
推出结点之间的真假关系，然后搞
二分+推断(事实上这个挺easy看出来的，一般就是最大值最小化之类的)

事实上2-sat的题目还是挺easy看出来的。问题在于怎样构造出表达式。怎样去化简表达式

模板：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXNODE = 2005;

struct TwoSet {
	int n;
	vector<int> g[MAXNODE * 2];
	bool mark[MAXNODE * 2];
	int S[MAXNODE * 2], sn;

	void init(int tot) {
		n = tot * 2;
		for (int i = 0; i < n; i += 2) {
			g[i].clear();
			g[i^1].clear();
		}
		memset(mark, false, sizeof(mark));
	}

	void add_Edge(int u, int uval, int v, int vval) {
		u = u * 2 + uval;
		v = v * 2 + vval;
		g[u^1].push_back(v);
		g[v^1].push_back(u);
	}

	void delete_Edge(int u, int uval, int v, int vval) {
		u = u * 2 + uval;
		v = v * 2 + vval;
		g[u^1].pop_back();
		g[v^1].pop_back();
	}

	bool dfs(int u) {
		if (mark[u^1]) return false;
		if (mark[u]) return true;
		mark[u] = true;
		S[sn++] = u;
		for (int i = 0; i < g[u].size(); i++) {
			int v = g[u][i];
			if (!dfs(v)) return false;
		}
		return true;
	}

	bool solve() {
		for (int i = 0; i < n; i += 2) {
			if (!mark[i] && !mark[i + 1]) {
				sn = 0;
				if (!dfs(i)){
					for (int j = 0; j < sn; j++)
						mark[S[j]] = false;
					sn = 0;
					if (!dfs(i + 1)) return false;
				}
			}
		}
		return true;
	}
} gao;

int main() {

	return 0;
}

HDU 3062 Party 裸题直接推断
HDU 1824 Let‘s go home 化简表达式
HDU 3622 Bomb Game 依据圆是否相交构造表达式
HDU 3715 Go Deeper 二分+推断
HDU 1815 Building roads 二分+构造表达式
HDU 1816 Get Luffy Out 依据题意构造表达式
HDU 4115 Eliminate the Conflict 把问题转化为仅仅有真假关系，进行2-sat
POJ 2296 Map Labeler 依据相交关系（怎样推断是个问题）构造表达式
POJ 3207 Ikki‘s Story IV - Panda‘s Trick 依据相交关系（怎样推断是个问题）构造表达式
POJ 3648 Wedding 依据题意构造表达式
POJ 3678 Katu Puzzle 依据题意进行表达式的化简
POJ 3905 Perfect Election 依据题意构造表达式
HDU 1814 Peaceful Commission 2-sat的字典序最小输出（事实上就是注意建图方式，然后让字典序小的优先染色就可以)
HDU 4421 Bit Magic 位运算+2-sat 依据题意构造表达式
POJ 3683 Priest John‘s Busiest Day 依据时间相交关系构造表达式