《离散数学》——图论6.7

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《离散数学》——图论6.7相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

图论里的一系列概念、性质、定理。

  无向图中的平行边:字面理解,即是两个顶点相同的边,互称为平行边。

  无向图重数:无向图中平行边的条数成为重数,这里要注意,是所有平行边的和而不是最大的一组平行边。

  有向图中的平行边:与无向图平行边的定义很类似,但是这里要求起点和终点是一致的(即方向要一致)。

  多重图:含有平行边的图。

  简单图:不含平行边和自环的图。容易看到,对于n阶简单图满足Δ≤n-1。

  无向完全图:任意两个顶点之间都存在边,用Kn来表示。基于其定义,我们可知边数m = C(n,2)

  有向完全图:任意两个顶点之间存在方向相反的两条边,边数m=2C(n,2)。

  k-正则图(基于无向简单图) : 各顶点度数都是k的无向简单图,结合我们之前学习过的握手定理,边数m = ∑d(vi)/2 = nk/2.

 

  圈图:即存在一条路径<v1,v2,…vi,v1>,使得从v1出发可以回到v1.

  轮图:基于圈图,在圈内部放置一个点,并将这个点连接圈上的每一个点。

 

  子图、真子图、生成子图:它们的概念理解并不困难,需要注意的是生成子图要求点集是原图的点的全集。

  补图:设n阶图为G,则满足G∪G’ = Kn边数最少的G’,即G的补图。

 

  图的连通性:

  设图G中有一条路径<v1,e1,v2,e2,v3…,vn>

  首先:如果n=1,则形成一条回路

  简单通路(回路):如果该路径的边没有重复经过,则这是一条简单通路。

  初级通路(回路):如果该路径的边和点都没有重复经过,则这是一条初级通路

  复杂通路(回路):如果该路径中边出现重复,那么这是一条复杂通路。

  通过定义我们容易看到,初级通路一定是简单通路,反之则不成立。

 

  定理:在一个n阶图中,若从顶点u到v(u≠v)存在通路,则从u到v存在长度小于等于n-1的初级通路。

  证明:设u到v的一条路径是<v1,e1,v2,e2,…,vl>,如果这条路径点没有重复出现,那么显然这是一条初级通路,而边数也至多是n-1.否则,必然存在t<s,vs = vt(v、s大小表示访问的先后顺序),删掉路径<vs,es…vt>,反复操作,则必然可以得到一条初级通路。证毕。

 

 

  Ex1:画出4阶3条边的所有非同构的无向简单图。

  对于画非同构图的问题,我们考虑先得到所有度数列,然后再一一画出图。而对于该题,有无向简单图的限制,则Δ≤3,再结合握手定理的推论,则我们容易得到如下几种度数列。

  ①1 1 1 3

  ②1 1 2 2

 ③0 2 2 2

 随后依次画出图即可。需要注意的是,相同的度数列也可以画出通构图,我们通过下一个例题来给出例子。

Ex2:画出1,1,,12,2,3为度数列的3个非同构无向简单图。

这个过程有点类似高中有机化学中找同分异构体,而在具体到这个题目当中,其实很类似基于一个线性的结构(5个顶点),然后挂一个甲基,很显然,考虑对称性有2-甲基和3-甲基两种非同构情况,这就给出了一个相同度数列但是图是非同构的情形。

以上是关于《离散数学》——图论6.7的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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