《离散数学》——图论6.6

Posted 2020-07-23 黑大帅之家

  关于简单的握手定理及其推论这里不在体现，这里我们记录三道利用握手定理并基于反证法的证明题。

  Ex1：设n阶m条边的无向图G中，m=n+1，证明G中存在顶点v，满足d(v) ≥3。

  证明：考虑反证法，既需要将待证命题的否命题归谬。首先我们写出带证明题的否命题：G中任意的顶点v，都满足d(v)≤2.

  由握手定理可知，∑d(v) = 2m = 2(n+1) ,结合假设，∑d(v) ≤ 2n,即有2n + 2≤2n，矛盾。原命题的正确性得证。

 

  Ex2：证明：空间不存在有奇数个面且每个面均有奇数条棱的多面体。

  可以看到对于多面体，面与面之间存在公共棱，类比到图论中点与点之间的边，因此我们这里将这个多面体等价转化成有奇数个顶点的图。

  因为每个面有奇数条棱，因此转化成图之后，d(v)是奇数，又考虑到有奇数个顶点，因此∑d(v)是奇数，这也是与握手定理相悖的。证毕。

 

  Ex3：设G为9阶无向图，G的每个顶点的度数不是5就是6,。证明G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。

  依然考虑反证法，我们要证伪待证命题的否命题，否命题为：G中至多有4个6度顶点并且至多有5个5度顶点，考虑到G为9阶，这里我们只有一种构图方案，而这种方案的度数和是24+25 = 49，与握手定理相悖，证毕。