《Linear Algebra and Its Applications》-线性相关性

Posted 2020-07-30 黑大帅之家

  这篇文章主要简单的记录所谓的“线性相关性”。

  线性相关性的对象是向量R^n，对于向量方程，如果说x1v1 + x2v2 + …+xmvm = 0（其中xi是常数，vi是向量）有且仅有一个平凡解，那么我们称m个向量组成的集合{v1,v2,v3…vm}是一个线性无关集，反之，则称向量集合{v1,v2,v3,…vm}是线性相关的。

  这个定义似乎显得有些唐突，我们反过来理解所谓的“线性相关”，即在一组非零解的情况下，我们将某个一个系数xi不为0的向量移到等式的另一侧，从这种形式来看，我们得到了向量vi关于其他向量的一个线性组合。

  即我们可以这样理解所谓的线性相关，m个向量R^n中，某个向量可以由其余的向量以线性组合的形式表达出来，且系数不都为0，那么我们就可以称这m个向量是线性相关的。

  即如下的这个定理。(它显然存在一个更加严密的证明过程，上文中只是给出了非常模糊、直觉性的介绍)

 

 

  那么现在我们面临这样一个问题，对于给定的m个向量R^n，我们如何判断其线性相关性呢？

  有着怎样的定义就有着怎样的算法，通过一开始我们对线性相关性的定义我们就能够发现，我们只需要讨论向量方程x1v1 + x2v2 + x3v3 +…+xmvm = 0的解即可，这就回到了我们上几节介绍的利用化简增广矩阵来求解矩阵方程、向量方程以及线性方程组的问题上来。

  下面给出一道例题。

 

 

  同样的，基于对向量之间线性相关性的讨论，我们还可以讨论矩阵各列的线性相关性。

 

 

 

 

  

 

  通过上文关于线性相关性的介绍，我们更加工具化的来完成这个过程，结合相关性和平凡解的定义，我们可以给出这样的一条定理：

 

  <=>矩阵方程仅有平凡解

  <=> A的各列向量线性无关

  <=>A经过初等行变化有n(矩阵A的列数)个主元位置

  <=>A等价于单位矩阵I

 

  这几条结论以及更全面的结论，在后面的可逆矩阵定理的介绍中会介绍，这里只是通过矩阵列的线性无关给出一系列性质。很显然根据这几句话的等价性，我们不难看到这条定理的正确性。

  那么基于这条定理，我们能够进一步得到判断线性相关性的简单算法。如何保证Ax = 0有且仅有平凡解呢？这就回到了线性方程组的解的问题上来，可以从那条路上走然后推出一个结论，我们这里提供一个更加朴素的路子。

  从平凡解(即非零解)的定义出发， R^n向量x有一个分量不为0即可，我们只需要将系数矩阵化成行阶梯式的时候，令主元的系数为0即可。即对角元素的乘积为0，即|A| = 0.

  于是我们可以给出这样一条定理：