《Linear Algebra and Its Application》-线性方程组的解

Posted 2020-07-29 黑大帅之家

在实际生产生活中，需要我们解大量的线性方程组，例如是有探测、线性规划、电路等，这里我们便从理论角度建立一套解决线性方程组的体系。

 

  线性方程组：

  形如下面形式的方程组称为线性方程组。

                           

 

  回想起解决二元线性方程组我们的处理方法，本质上就是高斯消元法的个例，在解决多元线性方程组的时候，我们使用的便是高斯消元法.

  探求线性方程组的解情况以及解线性方程组是线性代数核心要解决的问题。

  然而为了更好的简化运算过程，我们确定每个方程中xi的位置，仅仅关注线性方程组的系数，因此这里自然的引入的矩阵：

   

 

  这里我们便完成了一步简单但是非常重要的工作，系数矩阵的引入将线性方程组的运算放在了矩阵运算，于是研究线性方程组的解法就和矩阵的一系列性质变得密不可分。

 

   

  矩阵的行初等变换是高斯消元算法的基础。结合上文关于矩阵的引入，我们要时刻关注另外的一个视角看矩阵——它表征一个线性方程组。容易看到，对于线性方程组做出上述的三个变化，线性方程组的解空间是没有发生变化的，因此矩阵本身表征的意义就没有发生变化。

 

  既然引入了工具，就应该更好的为我们用高斯消元解线性方程组做出更好的铺垫。我们再来看几个概念：

   

  (注：这里的先导元素指的是每一行第一个非零元素。)

  依然从线性方程组的角度审视这个阶梯型矩阵，我们看到，再次将其转化成线性方程组的时候，线性方程组变得非常容易解，对于有解的情况，我们能够从最下面一行确定1个变量，然后依次向上确定其余变量值，不仅如此，在阶梯型矩阵的基础上，判断是否有解也十分方便，具体如何判断将在后面详细给出。

 

   

  最简阶梯型矩阵的意义与阶梯型矩阵一致，但计算上会带来一定的便捷，因此在后面处理线性方程组的时候，采取的策略都是将线性方程组的增广矩阵通过行初等变换变成最简阶梯型矩阵。

 

  上文我们说对于一个线性方程组的增广矩阵，基于它的最简阶梯型形式，非常容易得到解集，因此下面很有必要做的工作就是，如何将一个矩阵化简成最简行阶梯型矩阵。

 

  为了论述的方便，首先给出下面关于主元位置、主元列的定义：

 

    

 

  这是我们再以线性方程组的角度审视最简阶梯型矩阵，将主元位置的变量视为基本变量，其余位置的变量视为自由变量，我们就可以将线性方程组的解系表达出来。

 

  基于最简阶梯型矩阵，容易得到如下的关于线性方程组的解情况的定理。

 

  不谈严谨的充要性证明我们简单的理解，依然用线性方程组的角度去审视最简阶梯型矩阵，如果最右侧是主元列，则出现0=1的情况，显然无解。而对于有解的两种情况，其正确性也很显然。

  

  综合一下上面论述的内容，我们得到了下面应用行化简算法解线性方程组的算法：

  Step1：写出方程组的增广矩阵。

  Step2：应用航化简算法把增广矩阵化为阶梯型，确定方程组是否有解，如果没有解则停止，否则进行Step3.

  Step3：继续行化简算法得到它的简化阶梯型。

  Step4：写出Step3所得到的矩形所对应的方程组。

  Step5：把Step4所得的每个方程改写为用自由变量表示基本变量的形式。

 

  至此，我们较为初级的解决了线性方程组的求解问题，在后面随着对矩阵认识的深入，对于判断线性方程组的解情况，会有一种基于矩阵的秩的方法。