《Linear Algebra and Its Applications》- 向量方程

Posted 2020-07-28

  这片文章我们用来记录向量、向量方程及其与线性方程的关系。

 

  向量：谈起向量，你脑海中的第一印象是什么呢？是高中物理当中“即有方向又有大小”与“标量”相对的抽象概念？还是不管平面解析和空间几何确定位置的工具？还是《神偷奶爸2》里面的那个坏蛋？其实这些都是片面的向量，我们将nx1的矩阵视为一个向量，用R^n来表示，即向量R^n其实是一列数，每个数字都代表了这个向量一个分量的大小，我们还可以将其写成<a1,a2,a3,…an>的形式。

 

 

  特殊的向量的几何意义：现在基于推广性的向量定义，我们在回头看我们曾经用到过的向量，对于两个分量的向量R^2，其实就是表示平面内的某条有方向的线段，对于三个分量的向量R^3，其实就是空间内某条有方向的线段。

 

  向量的加减运算：向量的运算最基本的一件事情，就是基于它n个分量上进行，即对于两个分量的向量a = <a1,a2>，b = <b1,b2>,有a + b = <a1+b1,a2+b2>。聪明的读者可能已经想到了，这其实是与我们在高中物理的力学中所谓的“正交分解”是相互呼应的，而其实也是基于此，我们能够得到我们熟悉的所谓“平行四边形法则”、“三角形法则”。

  更全面的向量的代数性质，下表给出。

 

 

 

  向量方程：在介绍向量方程之前，我们先介绍一个名词——线性组合。简答的来说，对于变量x，它能够写成x = c1x1 + c2x2(x1,x2是变量，c1,c2是常量)，那么我们称x可以表示为x1和x2的一个线性组合。

  那么拿到向量这里也是同样的道理。

  下面我们基于这个线性组合的概念，通过一个例题来引出向量方程。

  引出的很自然，可以看到，所谓向量方程，就是以向量作为参数(也可能是未知量)的方程。

  我们进行进一步的转化。

 

  是否是我们熟悉的场景，这正是我们上一篇文章所解决的问题啊——求解线性方程组。

  也就是说到这里，我们能够明白，对于线性向量方程x1c1 + x2c2…xncn=b(x1,x2,…xn是常数，c1,c2,c3,…b是向量)，它其实是与增广矩阵为[c1,c2,…cn,b]的线性方程组通解，这就可以使得我们在面临向量方程的时候，直接将其转化成增广矩阵进行求解了。

 

 

  Span符号的含义：基于线性组合个概念，我们记Span(v1,v2,v3,…,vn)表示v1~vn这n个向量所有线性组合的集合。

  而基于 Span符号的这个概念，我们能进一步发现Span(v)和Span(v,u)有着实际的几何意义。

 

 

 

  基于对Span(v,u)几何含义的了解，我们来看这样一道例题。

 

 

总括起来，我们能够发现，本书一开始对于线性代数的介绍，是主要从它的“工具性”出发，力求让读者深刻明了的明白向量、线性方程组、矩阵这些为运算提供便利的有利工具的概念和相互联系，以为后面各种定理的证明奠定坚实的基础。