《Linear Algebra and Its Applications》- 线性方程组

Posted 2020-07-28

  同微分方程一样，线性代数也可以称得上是一门描述自然的语言，它在众多自然科学、经济学有着广阔的建模背景，这里笔者学识有限暂且不列举了，那么这片文章来简单的讨论一个问题——线性方程组。

  首先从我们中学阶段就很熟系的二元一次方程组，我们采用换元(其实就是高斯消元)的方法。但是现在我们需要讨论更加一般的情况，对于线性方程，有如下形式：

  a1x1+a2x2+…anxn = b.

  现在我们给出多个这样的方程构成方程组，我们是否有通用的解法呢？

  在《Linear Algebra and Its Applications》一书中一开始给出了非常棒的引入，在这里限于篇幅，笔者只进行简单的概括。

  通过多元线性方程组的朴素高斯消元过程，我们发现这个过程其实就是方程之间的加减运算，将含n个未知数的线性方程的n个系数和1个常数视为n+1个参数来表征这个线性方程，然后我们将所有线性方程的系数都给抽出来，得到系数矩阵，再在每一行后面添加常数，形成增广矩阵。这其实是一种引入工具来简化运算的方法，而基于朴素高斯消元各个方程相加相减的等价性，我们也应该赋予我们新引入的这个工具——“矩阵”以相同的性质，即矩阵的初等行变换：

(1)    每行乘以常数c，矩阵不变。

(2)    某行乘以常数c加到另外一行，矩阵不变。

(3)    任意两行交换位置，矩阵不变。

为什么要注意到矩阵的这些性质呢？因为它们非常有用啊！有什么用呢？

对于任意一个线性方程组，我们想要基于其增广矩阵进行简化运算以求得解，而这个过程基于高斯消元法的思路，就是消除掉一个一个的未知数，放到增广矩阵里，就可以看成自上而下，变量的数量越拉越少，在矩阵中越往下，系数为0的变量个数越多，这就自然而然的引出了行阶梯型矩阵的定义：

很容易看到，如果我们面对一个线性方程组的增广矩阵，并将其转化成行阶梯型，然后在将其转化成线性方程组，这无疑是利于我们解这个线性方程的。为什么呢？很简单啊，基于行阶梯型的特点，我们从下往上可以逐个确定变量，然后用已经确定的变量来表示其他变量，那么这个线性方程组便可求解了。

 

那么好了，现在我们面临的这样几个问题：

Q1：面对一个普通的增广矩阵，我们如何将其化成我们喜欢的行阶梯型呢？

Q2：基于行阶梯型，我们容易写出解的形式(这里涉及主元的概念，将主元视为基本变量，其余视为自由变量，解的基本形式就是基本变量用自由变量表示)，但是，如何判断它一定有解呢？有解的情况下，是唯一解还是无穷解呢？

针对Q1：它其实是一个计算性质的问题，在这里本书给出了如下的化简算法：

针对Q2：基于我们对行阶梯型矩阵与线性方程组之间的转化的理解，我们能够很自然的看到，对于n元的线性方程组：

(i)                 如果其增广矩阵不含自由变量，则我们可以自下(xn)而上(x1)一一确定各变量的值，有唯一解

(ii)               如果至少存在一个自由变量，那么显然整个解空间会随着自由变量的改变而对应的发生改变，有无穷个解。

(iii)             如果在行阶梯型中出现了某行是<0，0，0…,b>的形式(b≠0)，则将其转化成线性方程会出现0 = b的结果，这与数学现实矛盾，表明此线性方程组无解。