最长公共子序列（LCS）

Posted 2020-07-20 小河沟大河沟

      最长公共子序列，英文缩写为LCS(Longest Common Subsequence)。其定义是，一个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的.

      最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的"相似度"，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。  

动态规划法

     经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

      算法

动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下:

以两个序列 X、Y 为例子:

设有二维数组f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有:

f[1][1] = same(1,1);

f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}

其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位相同时为"1"，否则为"0"。

此时，二维数组中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。

该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。

 

     【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列<i0，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

      求解：

      引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

回溯输出最长公共子序列过程：

    我来说明下此图（参考算法导论）。在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。第i行和第j列中的方块包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭头。在c[7,6]的项4，表的右下角为X和Y的一个LCS<B，C，B，A>的长度。对于i，j>0，项c[i，j]仅依赖于是否有xi=yi，及项c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，这几个项都在c[i，j]之前计算。为了重构一个LCS的元素，从右下角开始跟踪b[i，j]的箭头即可，这条路径标示为阴影，这条路径上的每一个“↖”对应于一个使xi=yi为一个LCS的成员的项（高亮标示）。

      所以根据上述图所示的结果，程序将最终输出：“B C B A”。

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAXLEN 100

void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN])
{
    int i, j;
    for (i = 0; i <= m; i++)
        c[i][0] = 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
        c[0][j] = 0;
    for (i = 1; i <= m; i++)
    {
        for (j = 1; j <= n; j++)
        {
            if (x[i - 1] == y[j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1;
                b[i][j] = 0;
            }
            else if (c[i - 1][j] >= c[i][j - 1])
            {
                c[i][j] = c[i - 1][j];
                b[i][j] = 1;
            }
            else
            {
                c[i][j] = c[i][j - 1];
                b[i][j] = -1;
            }
        }
    }
}

void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j)
{
    if (i == 0 || j == 0)
        return;
    if (b[i][j] == 0)
    {
        PrintLCS(b, x, i - 1, j - 1);
        printf("%c ", x[i - 1]);
    }
    else if (b[i][j] == 1)
        PrintLCS(b, x, i - 1, j);
    else
        PrintLCS(b, x, i, j - 1);
}

int main(int argc, char **argv)
{
    char x[MAXLEN] = { "ABCBDAB" };
    char y[MAXLEN] = { "BDCABA" };
    int b[MAXLEN][MAXLEN];
    int c[MAXLEN][MAXLEN];
    int m, n;

    m = strlen(x);
    n = strlen(y);

    LCSLength(x, y, m, n, c, b);
    PrintLCS(b, x, m, n);

    return 0;
}

分两个部分：（参考：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482）

1）计算最优值  LCSLength（）

  计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>作为输入。输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储X_i与Y_j的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。

   由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的最长公共子序列。首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。

• 当b[i,j]中遇到"↖"时（意味着xi=yi是LCS的一个元素），表示X_i与Y_j的最长公共子序列是由X_i-1与Y_j-1的最长公共子序列在尾部加上x_i得到的子序列；
• 当b[i,j]中遇到"↑"时，表示X_i与Y_j的最长公共子序列和X_i-1与Y_j的最长公共子序列相同；
• 当b[i,j]中遇到"←"时，表示X_i与Y_j的最长公共子序列和X_i与Y_j-1的最长公共子序列相同。

    这种方法是按照反序来找LCS的每一个元素的。由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο(mn)。

2）构造最长公共子序列  PrintLCS（）

     在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。

 

算法的改进：参考：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482

变形题型：参考：http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2012070.html（最大子序列、最长递增子序列、最长公共子串、最长公共子序列、字符串编辑距离）

/**
 * 第一步：论证是否是动态规划问题
 * 首先要证明最长公共子序列问题是动态规划问题,即符合动态规划算法的两个特点:最优子结构和重叠子问题
 * 最优子结构:
 * 记:Xi=﹤x1...xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）        Yj=﹤y1...yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）
 * 假定Z=﹤z1...zk﹥∈LCS(X , Y)。
 * 若xm=yn（最后一个字符相同），则问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
 * 若xm≠yn，则问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
 * 由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。
 * 另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质。
 * 重叠子问题：
 * 在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列，
 * 而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，因此最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
 *
 * 第二步：建立递归式
 * 用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=<x1, x2, …, xi>，Yj=<y1, y2, …, yj>。建立递归关系如下：
 *            0                 if i=0||j=0
 * c[i][j]=   c[i-1][j-1]+1     if i,j>0&&x[i]==y[j]
 *            max(c[i][j-1],c[i-1][j]) if i,j>0&&x[i]!=y[j];
 */
public class LCS {


    /**第三步：计算最优值
     * 计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>作为输入。
     * 输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储Xi与Yj的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，
     * 这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。
     * 在这里可以将数组b省去。事实上，数组元素c[i,j]的值仅由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]三个值之一确定，而数组元素b[i,j]也只是用来指示c[i,j]究竟由哪个值确定。
     * 因此，在算法LCS中，我们可以不借助于数组b而借助于数组c本身临时判断c[i,j]的值是由c[i-1,j-1]，c[i-1,j]和c[i,j-1]中哪一个数值元素所确定，代价是Ο(1)时间。
     * @param x
     * @param y
     * @return
     */
    public int[][] lcsLength(char x[],char y[]){
        int m = x.length;
        int n = y.length;
        int [][]c = new int[m+1][n+1];
        for(int i = 0;i<m+1;i++)
            c[i][0]=0;
        for(int j = 0;j<n+1;j++)
            c[0][j]=0;
        for(int i = 1;i<=m;i++){
            for(int j = 1;j<=n;j++){
                //i,j从1开始，所以下面用i-1和j-1使得可以从数组0元素开始
                if(x[i-1]==y[j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                }else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                }else{
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                }
            }
        }
        return c;
    }
    /**第四步：构造最长公共子序列
     * lcs函数用来构造最长公共子序列,它使用在计算最优值中得到的c数组可以快速的
     * 构造序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列。
     * @param c
     * @param x
     * @param i
     * @param j
     */
    public void lcs(int c[][],char x[],int i,int j){
        if(i==0||j==0)return;
        if(c[i][j]==(c[i-1][j-1]+1)){
            lcs(c,x,i-1,j-1);
            //注意c的长度要比x大1
            System.out.println(x[i-1]);
        }else if(c[i][j]==c[i-1][j]){
            lcs(c,x,i-1,j);
        }else{
            lcs(c,x,i,j-1);
        }
    }
    //测试
    public static void main(String args[]){
        char x[]={\'A\',\'B\',\'C\',\'B\',\'D\',\'A\',\'B\'};
        char y[]={\'B\',\'D\',\'C\',\'A\',\'B\',\'A\'};
        LCS lcs = new LCS();
        int [][]c = lcs.lcsLength(x, y);
        lcs.lcs(c, x, x.length, y.length);
    }
}

 

参考：

程序员面试100题之六：最长公共子序列

LCS算法

http://www.cnblogs.com/zhangchaoyang/articles/2012070.html

http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630