IEEE浮点数floatdouble的存储结构

Posted 2020-07-20 朝闻道

众所周知，C的float、VB的Single都是32位浮点数变量类型（也叫单精度浮点数），C的double和VB的Double则都是64位的浮点数变量类型（也叫双精度浮点数）。有些编译器还支持更屌的long double（貌似是80位还是128位的我不清楚，总之存在这种变态玩意儿。）那么这些浮点数从最底层的角度来看，它们是怎么存储的呢？我来举个例子解释下。计算机用的是二进制，如果我用二进制跟大家解释大家可能觉得看不懂，那我就用十进制来跟大家解释。
浮点数分三个部分，第一个部分是有效数字，第二个部分给出小数点的位置，第三个部分用来判断这个数是正数还是负数。举例如下：
浮点数123.456
那么它用浮点数的存储格式来表示就是：有效数字就是123456，小数点的位置在3的后面，然后它是正数。

那么我们要做的就是先取出有效数字123456，然后在3的后面插入小数点.就成了123.456，最后给它加个正号，就是+123.456了。

从二进制的方面来理解也是一样的，比如我要表示-10101010.01010101，那么它的有效数字是1010101001010101，小数点在中间，然后它是负数。
上面我都只说了“小数点在中间”、“小数点在3后面”这种比较含糊的表达方法。那么浮点数到底是怎么存储小数点的位置呢？这里我们要注意一整个浮点数中用来表示小数点位置的位数是多少。
还是用十进制来给大家举个例子。假设我用两个位来表示小数点的位置，那么两个十进制位表示的最小的数是00，最大的数是99，我们总共能表达100个值。假设我要表达1234.5678，那么情况就是如下所示的：
有效数字是12345678
小数点的位置在中间。
这里我们用两个十进制位来表示小数点的位置，那么这个小数点从左往右数（原来的数字是1234.5678）是在第四个位的后面。因此这两个十进制位的值就是03。因为00表示从左往右数的第一个位的后面，01表示从左往右数的第二个位的后面，02表示从左往右数的第三个位的后面，那么03就表示从左往右数的第四个位的后面了。
有人可能会说“但是这样一来我们不就无法表现小数了嘛。”其实不然。比如我们要表现0.233，那么我们就把有效数字设置成“0233”，然后小数点位置是00就行了。
对应的，二进制表示也是这样的，比如我们用8个二进制位来表示小数点的位置，我们要表现的小数是10101010.01010101，那么小数点在从左往右数第八个位的后面，我们就用00001000来表示小数点的位置。

这里我就需要针对性地告诉大家，float和double是怎么回事。
float浮点数的有效数字是23位，小数点用8个位表示，然后符号（正、负）用一个位表示（0表示正、1表示负），总共组成32位。
因为float浮点数用8个位表示小数点的位置，因此小数点可以有256个位置。float浮点数规定从左往右数第127位的值必须是1，然后从第128位开始才是float的23位有效数字。因此float的浮点数的23位有效数字其实是从左往右数从第128位开始的。
我这里举个例子：浮点数1.0f是怎么存储的：
0 01111111 00000000000000000000000（0x3F800000）
其中蓝色的部分是符号位，0表示正数。
黄色的部分表示小数点的位置，在从左往右数第127位处。
绿色部分是有效数字，共23个0，也就是全零。如果转换为十进制，大约就是6、7个数位左右。
按照float浮点数的特性，第127位的值必须是1，然后存储的23位有效数字的位置是在第128位开始的，我们把这个浮点数展开为256位，是这样表示的：
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
前面的那些零和后面的那些零都是“虚构的”，也就是说这些零并没有被存储在float里面，而是同于补充位数的。第127位被强制设置为“1”，这是float的规定。
浮点数存储了它的小数点位置：01111111，也就是“127”这里。那么我们最终得到的浮点数是：1.0

同样的，double也是和float一样用三个部分表示浮点数：有效数字，小数点位置，符号。
double的有效数字是52位，小数点位置用11个位表示，符号位用一个位表示。十进制可以精确到16个数位左右。
我这里举个例子：浮点数1.0是怎么存储的：
0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000（0x3FF0000000000000）
其中蓝色的部分是符号位，0表示正数。
黄色的部分表示小数点的位置，在从左往右数第1023位处。
绿色部分是有效数字，共52个0，也就是全零。
按照double浮点数的特性，第1023位的值必须是1，然后存储的52位有效数字的位置是在第1024位开始的，我们把这个浮点数展开为2048位，是这样表示的：
00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
在这2048位的数字中，我们的double存储的52个有效数字在其中的绿色部分，也就是从1024位开始处。1023位被强制设置为1。可以看出，double的精度比起float提高了不少。
小数点的位置：01111111111表示小数点在第1023位的后面，因此最终得到的浮点数的数值是1.0

除了float和double，还有其它格式的浮点数：
Minifloat：迷你浮点数（8位）：
1位符号位，4位小数点位置，3位有效数字。（PS.真够“迷你”的）
Half：半精度（16位）：
1位符号位，5位小数点位置，10位有效数字。
x86 Extended Precision Format：x86扩展精度格式（80位）：
1位符号位，15位小数点位置，1位特殊位，63位有效数字。特殊位请看http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_precision
Quadruple：四倍精度（128位）：
1位符号位，15位小数点位置，112位有效数字。

IEEE规定：
1、表示小数点位置的部分如果全零，那么这个浮点数的值为0，而如果这个时候有效数字部分非零，那么这个浮点数就“不是一个数”（NaN）
2、表示小数点位置的部分如果全一，那么这个浮点数的值为无穷大。
3、浮点数能表示的最大数值：表示小数点位置的部分除了最低位为零其它均为一，有效数字全为1
4、浮点数能表示的最小数值：表示小数点位置的部分除了最低位为一其它均为零，有效数字全为0

参考资料
http://en.wikipedia.org/wiki/Minifloat
http://en.wikipedia.org/wiki/Half-precision_floating-point_format
http://en.wikipedia.org/wiki/Sin ... oating-point_format
http://en.wikipedia.org/wiki/Dou ... oating-point_format
http://en.wikipedia.org/wiki/Extended_precision
http://en.wikipedia.org/wiki/Qua ... oating-point_format

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