请问周期函数e^jωt周期为啥等于2π/ω？

Posted 2023-05-16

是否要用到欧拉公式？cosωt+jsinωt是怎么看出周期的？cosωt+jsinβt是否仍然是周期函数？

解析写在纸上

参考技术A 用周期函数定义。
e^[jw(t+2π/w)]=e^[j(wt+2π)]=e^(jwt),
所以2π/w是它的一个周期。 参考技术B 假设函数A(x)的周期为2派 ，函数B(x)的周期也为2派 。那函数A(x)+B(x)的周期是不是也是2派。由于这里正弦和余弦函数周期都为2派 所以加和的函数周期2派

数字信号处理相关函数 ( 自相关函数示例 )

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• 一、自相关函数 示例

一、自相关函数 示例

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给定一个 " 周期函数 " :

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

其中 $\omega =\frac{2\pi }{N}$ , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "

$$r_x(m)$$

" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{x}^{\ast }(n)x(n+m)$$

参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;

该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭 ${}^{\ast }$ ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}x(n)x(n+m)$$

将

$$x(n)=A\sin (\omega n)$$

代入到上面的式子中 ;

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}[A\sin (\omega n)][A\sin (\omega (n+m))]$$

展开式子 , 计算得到 :

$$r_x(m)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}{A}^2\sin (\omega n)\sin (\omega n+\omega m)$$

使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N-1}{\sin }^2\omega n+\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n$$

下面的式子

$$\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

值为 $0$ ,

当 $n=0$ 时 , $\sin \omega n\cos \omega n=0$ ;

当 $n=1$ 时 , 与 $n=N-1$ 时 , 抵消了 ;

当 $n=2$ 时 , 与 $n=N-2$ 时 , 抵消了 ;

则最终结果为 0 , 则有 :

$$\frac{A^2}{N}\sin \omega m\sum _{n=0}^{N-1}\sin \omega n\cos \omega n=0$$

当前的推导相关函数为 :

$$r_x(m)=\frac{A^2}{N}\cos \omega m\sum _{n=0}^{N-1}{\sin }^2\omega n$$

根据 三角函数公式 :

$${\sin }^2\alpha =\frac{(1-\cos 2\alpha )}{2}$$

可得 :

$${\sin }^{2以上是关于请问周期函数e^j\omega t周期为啥等于2\pi /\omega ？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$$

如何求函数的最小正周期？

数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 )

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啥是最小正周期

傅里叶变换的相关函数（笔记02）

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