数字信号处理相关函数 ( 自相关函数示例 )
Posted 韩曙亮
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数字信号处理相关函数 ( 自相关函数示例 )相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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一、自相关函数 示例
给定一个 " 周期函数 " :
x ( n ) = A sin ( ω n ) x(n) = A \\sin (\\omega n) x(n)=Asin(ωn)
其中 ω = 2 π N \\omega = \\cfrac2\\piN ω=N2π , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "
r x ( m ) r_x(m) rx(m)
" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :
r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ∗ ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \\cfrac1N\\sum_n = 0^N-1x^*(n)x(n+m) rx(m)=N1n=0∑N−1x∗(n)x(n+m)
参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;
该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭 ∗ ^* ∗ ;
r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) x ( n + m ) r_x(m) = \\cfrac1N\\sum_n = 0^N-1x(n)x(n+m) rx(m)=N1n=0∑N−1x(n)x(n+m)
将
x ( n ) = A sin ( ω n ) x(n) = A \\sin (\\omega n) x(n)=Asin(ωn)
代入到上面的式子中 ;
r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 [ A sin ( ω n ) ] [ A sin ( ω ( n + m ) ) ] r_x(m) = \\cfrac1N\\sum_n = 0^N-1 [ A \\sin (\\omega n) ] [ A \\sin (\\omega ( n + m )) ] rx(m)=N1n=0∑N−1[Asin(ωn)][Asin(ω(n+m))]
展开式子 , 计算得到 :
r x ( m ) = 1 N ∑ n = 0 N − 1 A 2 sin ( ω n ) sin ( ω n + ω m ) r_x(m) = \\cfrac1N\\sum_n = 0^N-1 A^2 \\sin (\\omega n) \\sin ( \\omega n + \\omega m ) rx(m)=N1n=0∑N−1A2sin(ωn)sin(ωn+ωm)
使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;
r x ( m ) = A 2 N cos ω m ∑ n = 0 N − 1 sin 2 ω n + A 2 N sin ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ω n cos ω n r_x(m) = \\cfracA^2N \\cos \\omega m \\sum_n = 0^N-1 \\sin^2 \\omega n + \\cfracA^2N \\sin \\omega m \\sum_n = 0^N-1 \\sin \\omega n \\cos \\omega n rx(m)=NA2cosωmn=0∑N−1sin2ωn+NA2sinωmn=0∑N−1sinωncosωn
下面的式子
∑ n = 0 N − 1 sin ω n cos ω n = 0 \\sum_n = 0^N-1 \\sin \\omega n \\cos \\omega n = 0 n=0∑N−1sinωncosωn=0
值为 0 0 0 ,
当 n = 0 n = 0 n=0 时 , sin ω n cos ω n = 0 \\sin \\omega n \\cos \\omega n = 0 sinωncosωn=0 ;
当 n = 1 n = 1 n=1 时 , 与 n = N − 1 n = N-1 n=N−1 时 , 抵消了 ;
当 n = 2 n = 2 n=2 时 , 与 n = N − 2 n = N-2 n=N−2 时 , 抵消了 ;
则最终结果为 0 , 则有 :
A 2 N sin ω m ∑ n = 0 N − 1 sin ω n cos ω n = 0 \\cfracA^2N \\sin \\omega m \\sum_n = 0^N-1 \\sin \\omega n \\cos \\omega n = 0 NA2sinωmn=0∑N−1sinωncosωn=0
当前的推导相关函数为 :
r x ( m ) = A 2 N cos ω m ∑ n = 0 N − 1 sin 2 ω n r_x(m) = \\cfracA^2N \\cos \\omega m \\sum_n = 0^N-1 \\sin^2 \\omega n rx(m)=NA2cosωmn=0∑N−1sin2ωn
根据 三角函数公式 :
sin 2 α = ( 1 − cos 2 α ) 2 \\sin^2 \\alpha=\\cfrac(1-\\cos2\\alpha)2 sin2α=2(1−cos2α)
可得 :
sin 2 ω n = ( 1 − cos 2 ω n ) 2 \\sin^2 \\omega n = \\cfrac(1- \\cos 2 \\omega n)2 sin2以上是关于数字信号处理相关函数 ( 自相关函数示例 )的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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