CCF202112-1 序列查询（100分）序列处理

Posted 2022-06-07 海岛Blog

试题编号： 202112-1
试题名称： 序列查询
时间限制： 300ms
内存限制： 512.0MB
问题描述：
题目背景
西西艾弗岛的购物中心里店铺林立，商品琳琅满目。为了帮助游客根据自己的预算快速选择心仪的商品，IT 部门决定研发一套商品检索系统，支持对任意给定的预算 x，查询在该预算范围内（ ≤ x）价格最高的商品。如果没有商品符合该预算要求，便向游客推荐可以免费领取的西西艾弗岛定制纪念品。

假设购物中心里有 n 件商品，价格从低到高依次为 A1, A2, …, An，则根据预算 x 检索商品的过程可以抽象为如下序列查询问题。

题目描述
A=|A0,A1, A2, …, An| 是一个由 n + 1 个 [0, N) 范围内整数组成的序列，满足 0 = A0 < A1 < A2 < … < An < N。（这个定义中蕴含了 n 一定小于 N。）

基于序列 A，对于 [0, N) 范围内任意的整数 x，查询 f(x) 定义为：序列 A 中小于等于 x 的整数里最大的数的下标。具体来说有以下两种情况：

1. 存在下标 0 ≤ i < n 满足 Ai ≤ x < Ai+1
   此时序列 A 中从 A0 到 Ai 均小于等于 x，其中最大的数为 An，其下标为 i，故 f(x) = i。
2. An ≤ x
   此时序列 A 中所有的数都小于等于 x，其中最大的数为 An，故 f(x) = n。
   令 sum(A) 表示 f(0) 到 f(N - 1) 的总和，即：
   $$sum(A)=\sum _{i=0}^{N-1}f(i)=f(0)+f(1)+f(2)+...+f(N-1)$$
   对于给定的序列 A，试计算 sum(A)。

输入格式
从标准输入读入数据。
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 N。
输入的第二行包含 n 个用空格分隔的整数 A1, A2, … , An。
注意 A0 固定为 0，因此输入数据中不包括 A0。

输出格式
输出到标准输出。
仅输出一个整数，表示 sum(A) 的值。

样例1输入
3 10
2 5 8
样例1输出
15
样例1解释
A = 0, 2, 5, 8
      0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) 0 0 1 1 1 2 2 2 3 3
如上表所示，sum(A) = f(0) + f(1) + … + f(9) = 15。
考虑到 f(0) = f(1)、f(2) = f(3) = f(4) 、f(5) = f(6) = f(7) 以及 f(8) = f(9)，亦可通过如下算式计算 sum(A) ：
$$sum(A)=f(0)\times 2+f(2)\times 3+f(5)\times 3+f(8)\times 2$$

样例2输入
9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
样例2输出
45

子任务
50% 的测试数据满足 1 ≤ n ≤ 200 且 n < N ≤ 1000；
全部的测试数据满足 1 ≤ n ≤ 2000 且 n < N ≤ 10⁷。

提示
若存在区间 [i, j) 满足 f(i) = f(i + 1) = … = f(i - 1)，使用乘法运算 f(i) × (j - i) 代替将 f(i) 到 f(j - 1) 逐个相加，或可大幅提高算法效率。

问题链接：CCF202112-1 序列查询
问题简述：（略）
问题分析：（略）
程序说明：（略）
参考链接：（略）
题记：（略）

100分的C语言程序如下：

/* CCF202112-1 序列查询 */

#include <stdio.h>

int main()

    int n, N, i;

    scanf("%d%d", &n, &N);
    int a, last = 0, end = 0;
    for (i = 0; i <= n; i++) 
        if (i == n) a = N;
        else scanf("%d", &a);
        end += (a - last) * i;
        last = a;
    

    printf("%d",end);

    return 0;