概率论与数理统计猴博士 笔记 p21-23 二维连续型求边缘分布函数和密度函数，已知两个边缘密度函数求f(x,y)

Posted 2022-04-13 karshey

二维连续型求边缘分布函数

题型如下：给出F(x,y)，让我们求F(x),F(y)

步骤：
$$\begin{gathered} F_X(x)=F(x,+\infty ) \\ {F}_Y(y)=F(+\infty ,y) \end{gathered}$$

直接做上面那道例题：

二维连续型求边缘密度函数

题干：给出F(x,y)，让我们求f(x),f(y)

方法：
$$\begin{gathered} f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy \\ {f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx \end{gathered}$$

步骤：

我们以例1为例做一下：
第一步：

第二步：

第三步：**因为是求f(x)，所以要作垂直于x轴的线。**最左边的蓝线和最右边的蓝线中间有几个格，公式里就会有几个区域。
这道题有两个区域。每个区域的积分上限是上边界的表达式，下限是下边界的表达式。这里是求f(x)，所以是对x的表达式。

然后得出答案：

求f(y)同理：
要作垂直于y轴的线

y的范围是区间。积分上限是右边线的y的表达式，下限是左边线的y的表达式。


答案：

接下来尝试自己做例2：

解：
对x：

对y：

已知两个边缘密度函数求f(x,y)

其实就是已知f(x),f(y)来求f(x,y)。

如题：

步骤：
把f(x)，f(y)不为0的表达式相乘，范围加在一起即可（相互独立，可以同时满足）